eMathHelp matematiklösare – gratis steg-för-steg-räknare

Beräkna $$$\left[\begin{array}{cc}a & b\\c & d\end{array}\right]^{-1}$$$ med hjälp av Gauss-Jordan-eliminationen.

För att hitta den inversa matrisen, utöka den med identitetsmatrisen och utför radoperationer så att identitetsmatrisen hamnar till vänster. Då kommer den inversa matrisen att finnas till höger.

Alltså, bilda den utökade matrisen med identitetsmatrisen:

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}a & b & 1 & 0\\c & d & 0 & 1\end{array}\right]$$$

Dividera rad $$$1$$$ med $$$a$$$: $$$R_{1} = \frac{R_{1}}{a}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{b}{a} & \frac{1}{a} & 0\\c & d & 0 & 1\end{array}\right]$$$

Subtrahera rad $$$1$$$ multiplicerad med $$$c$$$ från rad $$$2$$$: $$$R_{2} = R_{2} - c R_{1}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{b}{a} & \frac{1}{a} & 0\\0 & d - \frac{b c}{a} & - \frac{c}{a} & 1\end{array}\right]$$$

Dividera rad $$$2$$$ med $$$d - \frac{b c}{a}$$$: $$$R_{2} = \frac{R_{2}}{d - \frac{b c}{a}}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{b}{a} & \frac{1}{a} & 0\\0 & 1 & - \frac{c}{a d - b c} & \frac{a}{a d - b c}\end{array}\right]$$$

Subtrahera rad $$$2$$$ multiplicerad med $$$\frac{b}{a}$$$ från rad $$$1$$$: $$$R_{1} = R_{1} - \frac{b}{a} R_{2}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & \frac{d}{a d - b c} & - \frac{b}{a d - b c}\\0 & 1 & - \frac{c}{a d - b c} & \frac{a}{a d - b c}\end{array}\right]$$$

Vi är klara. Till vänster är identitetsmatrisen. Till höger är inversmatrisen.

Den inversa matrisen är $$$\left[\begin{array}{cc}\frac{d}{a d - b c} & - \frac{b}{a d - b c}\\- \frac{c}{a d - b c} & \frac{a}{a d - b c}\end{array}\right]$$$A.