Forma escalonada reduzida por linhas de $$$\left[\begin{array}{cccc}\frac{5}{2} & 120 & \frac{6}{5} & \frac{37}{10}\\5 & 240 & \frac{12}{5} & \frac{37}{5}\\3 & 180 & \frac{9}{5} & \frac{11}{2}\end{array}\right]$$$

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas de $$$\left[\begin{array}{cccc}\frac{5}{2} & 120 & \frac{6}{5} & \frac{37}{10}\\5 & 240 & \frac{12}{5} & \frac{37}{5}\\3 & 180 & \frac{9}{5} & \frac{11}{2}\end{array}\right]$$$.

Multiplique a linha $$$1$$$ por $$$\frac{2}{5}$$$: $$$R_{1} = \frac{2 R_{1}}{5}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cccc}1 & 48 & \frac{12}{25} & \frac{37}{25}\\5 & 240 & \frac{12}{5} & \frac{37}{5}\\3 & 180 & \frac{9}{5} & \frac{11}{2}\end{array}\right]$$$

Subtraia a linha $$$1$$$ multiplicada por $$$5$$$ da linha $$$2$$$: $$$R_{2} = R_{2} - 5 R_{1}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cccc}1 & 48 & \frac{12}{25} & \frac{37}{25}\\0 & 0 & 0 & 0\\3 & 180 & \frac{9}{5} & \frac{11}{2}\end{array}\right]$$$

Subtraia a linha $$$1$$$ multiplicada por $$$3$$$ da linha $$$3$$$: $$$R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cccc}1 & 48 & \frac{12}{25} & \frac{37}{25}\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 36 & \frac{9}{25} & \frac{53}{50}\end{array}\right]$$$

Como o elemento na linha $$$2$$$ e coluna $$$2$$$ (elemento pivô) é igual a $$$0$$$, precisamos permutar as linhas.

Encontre o primeiro elemento não nulo na coluna $$$2$$$ abaixo da entrada pivô.

O primeiro elemento não nulo está na linha $$$3$$$.

Troque as linhas $$$2$$$ e $$$3$$$:

$$$\left[\begin{array}{cccc}1 & 48 & \frac{12}{25} & \frac{37}{25}\\0 & 36 & \frac{9}{25} & \frac{53}{50}\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]$$$

Divida a linha $$$2$$$ por $$$36$$$: $$$R_{2} = \frac{R_{2}}{36}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cccc}1 & 48 & \frac{12}{25} & \frac{37}{25}\\0 & 1 & \frac{1}{100} & \frac{53}{1800}\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]$$$

Subtraia a linha $$$2$$$ multiplicada por $$$48$$$ da linha $$$1$$$: $$$R_{1} = R_{1} - 48 R_{2}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & \frac{1}{15}\\0 & 1 & \frac{1}{100} & \frac{53}{1800}\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]$$$

Como o elemento na linha $$$3$$$ e coluna $$$3$$$ (elemento pivô) é igual a $$$0$$$, precisamos permutar as linhas.

Encontre o primeiro elemento não nulo na coluna $$$3$$$ abaixo da entrada pivô.

Como pode ver, não existem tais entradas. Vá para a próxima coluna.

Como o elemento na linha $$$3$$$ e coluna $$$4$$$ (elemento pivô) é igual a $$$0$$$, precisamos permutar as linhas.

Encontre o primeiro elemento não nulo na coluna $$$4$$$ abaixo da entrada pivô.

Como se pode ver, não existem tais entradas.

A forma escalonada reduzida por linhas é $$$\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & \frac{1}{15}\\0 & 1 & \frac{1}{100} & \frac{53}{1800}\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0.066666666666667\\0 & 1 & 0.01 & 0.029444444444444\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right].$$$A