Inversa de $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1\\2 & -1 & 0\\1 & 1 & 1\end{array}\right]$$$

Calcule $$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1\\2 & -1 & 0\\1 & 1 & 1\end{array}\right]^{-1}$$$ usando a eliminação de Gauss-Jordan.

Para encontrar a matriz inversa, forme a matriz aumentada com a matriz identidade e efetue operações elementares nas linhas de modo a obter a matriz identidade à esquerda. Então, à direita estará a matriz inversa.

Então, aumente a matriz com a matriz identidade:

$$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\2 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0\\1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

Subtraia a linha $$$1$$$ multiplicada por $$$2$$$ da linha $$$2$$$: $$$R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$$$.

$$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\0 & -3 & 2 & -2 & 1 & 0\\1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

Subtraia a linha $$$1$$$ da linha $$$3$$$: $$$R_{3} = R_{3} - R_{1}$$$.

$$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\0 & -3 & 2 & -2 & 1 & 0\\0 & 0 & 2 & -1 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

Divida a linha $$$2$$$ por $$$-3$$$: $$$R_{2} = - \frac{R_{2}}{3}$$$.

$$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\0 & 1 & - \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0\\0 & 0 & 2 & -1 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

Subtraia a linha $$$2$$$ da linha $$$1$$$: $$$R_{1} = R_{1} - R_{2}$$$.

$$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0\\0 & 1 & - \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0\\0 & 0 & 2 & -1 & 0 & 1\end{array}\right]$$$

Divida a linha $$$3$$$ por $$$2$$$: $$$R_{3} = \frac{R_{3}}{2}$$$.

$$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0\\0 & 1 & - \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0\\0 & 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$

Adicione a linha $$$3$$$ multiplicada por $$$\frac{1}{3}$$$ à linha $$$1$$$: $$$R_{1} = R_{1} + \frac{R_{3}}{3}$$$.

$$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\\0 & 1 & - \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 0\\0 & 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$

Adicione a linha $$$3$$$ multiplicada por $$$\frac{2}{3}$$$ à linha $$$2$$$: $$$R_{2} = R_{2} + \frac{2 R_{3}}{3}$$$.

$$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & \frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\\0 & 1 & 0 & \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\0 & 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]$$$

Terminamos. À esquerda está a matriz identidade. À direita está a matriz inversa.

A matriz inversa é $$$\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6}\\\frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\- \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{ccc}0.166666666666667 & 0.333333333333333 & 0.166666666666667\\0.333333333333333 & -0.333333333333333 & 0.333333333333333\\-0.5 & 0 & 0.5\end{array}\right].$$$A