Ângulo entre $$$\left\langle 6, 2\right\rangle$$$ e $$$\left\langle -4, -6\right\rangle$$$

Calcule o ângulo entre os vetores $$$\mathbf{\vec{u}} = \left\langle 6, 2\right\rangle$$$ e $$$\mathbf{\vec{v}} = \left\langle -4, -6\right\rangle$$$.

Primeiro, calcule o produto escalar: $$$\mathbf{\vec{u}}\cdot \mathbf{\vec{v}} = -36$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de produto escalar).

Em seguida, encontre os comprimentos dos vetores:

$$$\mathbf{\left\lvert\vec{u}\right\rvert} = 2 \sqrt{10}$$$ (para etapas, consulte calculadora de comprimento vetorial).

$$$\mathbf{\left\lvert\vec{v}\right\rvert} = 2 \sqrt{13}$$$ (para etapas, consulte calculadora de comprimento vetorial).

Por fim, o ângulo é dado por $$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{\mathbf{\vec{u}}\cdot \mathbf{\vec{v}}}{\mathbf{\left\lvert\vec{u}\right\rvert} \mathbf{\left\lvert\vec{v}\right\rvert}} = \frac{-36}{\left(2 \sqrt{10}\right)\cdot \left(2 \sqrt{13}\right)} = - \frac{9 \sqrt{130}}{130}$$$ (no caso de números complexos, precisamos tirar a parte real do produto escalar).

$$$\phi = \operatorname{acos}{\left(- \frac{9 \sqrt{130}}{130} \right)} = \left(\frac{180 \operatorname{acos}{\left(- \frac{9 \sqrt{130}}{130} \right)}}{\pi}\right)^0$$$

Ângulo em radianos: $$$\phi = \operatorname{acos}{\left(- \frac{9 \sqrt{130}}{130} \right)}\approx 2.480549484739106$$$A.

Ângulo em graus: $$$\phi = \left(\frac{180 \operatorname{acos}{\left(- \frac{9 \sqrt{130}}{130} \right)}}{\pi}\right)^0\approx 142.125016348901798^0.$$$A