Vetor tangente unitário para $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle t^{4} - 1, \cos{\left(t \right)}, 3 t\right\rangle$$$ em $$$t = 0$$$
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Sua entrada
Encontre o vetor tangente unitário para $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle t^{4} - 1, \cos{\left(t \right)}, 3 t\right\rangle$$$ em $$$t = 0$$$.
Solução
Para encontrar o vetor tangente unitário, precisamos encontrar a derivada de $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)}$$$ (o vetor tangente) e depois normalizá-lo (encontrar o vetor unitário).
$$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle 4 t^{3}, - \sin{\left(t \right)}, 3\right\rangle$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de derivadas).
Encontre o vetor unitário: $$$\mathbf{\vec{T}\left(t\right)} = \left\langle \frac{4 t^{3}}{\sqrt{16 t^{6} + \sin^{2}{\left(t \right)} + 9}}, - \frac{\sin{\left(t \right)}}{\sqrt{16 t^{6} + \sin^{2}{\left(t \right)} + 9}}, \frac{3}{\sqrt{16 t^{6} + \sin^{2}{\left(t \right)} + 9}}\right\rangle$$$ (para ver as etapas, consulte calculadora de vetores unitários).
Agora, encontre o vetor em $$$t = 0$$$.
$$$\mathbf{\vec{T}\left(0\right)} = \left\langle 0, 0, 1\right\rangle$$$
Responder
O vetor tangente unitário é $$$\mathbf{\vec{T}\left(t\right)} = \left\langle \frac{4 t^{3}}{\sqrt{16 t^{6} + \sin^{2}{\left(t \right)} + 9}}, - \frac{\sin{\left(t \right)}}{\sqrt{16 t^{6} + \sin^{2}{\left(t \right)} + 9}}, \frac{3}{\sqrt{16 t^{6} + \sin^{2}{\left(t \right)} + 9}}\right\rangle.$$$A
$$$\mathbf{\vec{T}\left(0\right)} = \left\langle 0, 0, 1\right\rangle$$$A