Aproxime $$$\int\limits_{1}^{6} \sqrt{x^{3} + 1}\, dx$$$ com $$$n = 10$$$ usando a aproximação de ponto final correto

Aproxime a integral $$$\int\limits_{1}^{6} \sqrt{x^{3} + 1}\, dx$$$ com $$$n = 10$$$ usando a aproximação do ponto final correto.

A soma de Riemann à direita (também conhecida como aproximação do ponto final direito) usa o ponto final direito de um subintervalo para calcular a altura do retângulo de aproximação:

$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)} + f{\left(x_{3} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-1} \right)} + f{\left(x_{n} \right)}\right)$$$

onde $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.

Temos que $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{x^{3} + 1}$$$, $$$a = 1$$$, $$$b = 6$$$ e $$$n = 10$$$.

Portanto, $$$\Delta x = \frac{6 - 1}{10} = \frac{1}{2}$$$.

Divida o intervalo $$$\left[1, 6\right]$$$ em $$$n = 10$$$ subintervalos de comprimento $$$\Delta x = \frac{1}{2}$$$ com os seguintes pontos finais: $$$a = 1$$$, $$$\frac{3}{2}$$$, $$$2$$$, $$$\frac{5}{2}$$$, $$$3$$$, $$$\frac{7}{2}$$$, $$$4$$$, $$$\frac{9}{2}$$$, $$$5$$$, $$$\frac{11}{2}$$$, $$$6 = b$$$.

Agora, apenas avalie a função nas extremidades corretas dos subintervalos.

$$$f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(\frac{3}{2} \right)} = \frac{\sqrt{70}}{4}\approx 2.091650066335189$$$

$$$f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(2 \right)} = 3$$$

$$$f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(\frac{5}{2} \right)} = \frac{\sqrt{266}}{4}\approx 4.077376607575023$$$

$$$f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(3 \right)} = 2 \sqrt{7}\approx 5.291502622129181$$$

$$$f{\left(x_{5} \right)} = f{\left(\frac{7}{2} \right)} = \frac{3 \sqrt{78}}{4}\approx 6.623820649745885$$$

$$$f{\left(x_{6} \right)} = f{\left(4 \right)} = \sqrt{65}\approx 8.06225774829855$$$

$$$f{\left(x_{7} \right)} = f{\left(\frac{9}{2} \right)} = \frac{\sqrt{1474}}{4}\approx 9.598176910226233$$$

$$$f{\left(x_{8} \right)} = f{\left(5 \right)} = 3 \sqrt{14}\approx 11.224972160321824$$$

$$$f{\left(x_{9} \right)} = f{\left(\frac{11}{2} \right)} = \frac{\sqrt{2678}}{4}\approx 12.937349032935611$$$

$$$f{\left(x_{10} \right)} = f{\left(6 \right)} = \sqrt{217}\approx 14.730919862656235$$$

Por fim, basta somar os valores acima e multiplicar por $$$\Delta x = \frac{1}{2}$$$: $$$\frac{1}{2} \left(2.091650066335189 + 3 + 4.077376607575023 + 5.291502622129181 + 6.623820649745885 + 8.06225774829855 + 9.598176910226233 + 11.224972160321824 + 12.937349032935611 + 14.730919862656235\right) = 38.819012830111865.$$$

$$$\int\limits_{1}^{6} \sqrt{x^{3} + 1}\, dx\approx 38.819012830111865$$$A