Aproxime $$$\int\limits_{0}^{2} e^{- 5 x^{2}}\, dx$$$ com $$$n = 4$$$ usando a aproximação de ponto final correto

A calculadora aproximará a integral de $$$e^{- 5 x^{2}}$$$ de $$$0$$$ a $$$2$$$ com $$$n = 4$$$ subintervalos usando a aproximação do ponto final correto, com as etapas mostradas.

Calculadora relacionada: Calculadora de aproximação de ponto final direito para uma tabela

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Aproxime a integral $$$\int\limits_{0}^{2} e^{- 5 x^{2}}\, dx$$$ com $$$n = 4$$$ usando a aproximação do ponto final correto.

Solução

A soma de Riemann à direita (também conhecida como aproximação do ponto final direito) usa o ponto final direito de um subintervalo para calcular a altura do retângulo de aproximação:

$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)} + f{\left(x_{3} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-1} \right)} + f{\left(x_{n} \right)}\right)$$$

onde $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.

Temos que $$$f{\left(x \right)} = e^{- 5 x^{2}}$$$, $$$a = 0$$$, $$$b = 2$$$ e $$$n = 4$$$.

Portanto, $$$\Delta x = \frac{2 - 0}{4} = \frac{1}{2}$$$.

Divida o intervalo $$$\left[0, 2\right]$$$ em $$$n = 4$$$ subintervalos de comprimento $$$\Delta x = \frac{1}{2}$$$ com os seguintes pontos finais: $$$a = 0$$$, $$$\frac{1}{2}$$$, $$$1$$$, $$$\frac{3}{2}$$$, $$$2 = b$$$.

Agora, apenas avalie a função nas extremidades corretas dos subintervalos.

$$$f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(\frac{1}{2} \right)} = e^{- \frac{5}{4}}\approx 0.28650479686019$$$

$$$f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(1 \right)} = e^{-5}\approx 0.006737946999085$$$

$$$f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(\frac{3}{2} \right)} = e^{- \frac{45}{4}}\approx 0.000013007297654$$$

$$$f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(2 \right)} = e^{-20}\approx 2.061154 \cdot 10^{-9}$$$

Por fim, basta somar os valores acima e multiplicar por $$$\Delta x = \frac{1}{2}$$$: $$$\frac{1}{2} \left(0.28650479686019 + 0.006737946999085 + 0.000013007297654 + 2.061154 \cdot 10^{-9}\right) = 0.146627876609041.$$$

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$$$\int\limits_{0}^{2} e^{- 5 x^{2}}\, dx\approx 0.146627876609041$$$A