Aproxime $$$\int\limits_{1}^{3} \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\, dx$$$ com $$$n = 2$$$ usando a regra do ponto médio

Aproxime a integral $$$\int\limits_{1}^{3} \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\, dx$$$ com $$$n = 2$$$ usando a regra do ponto médio.

A regra do ponto médio (também conhecida como aproximação do ponto médio) usa o ponto médio de um subintervalo para calcular a altura do retângulo de aproximação:

$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(\frac{x_{0} + x_{1}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{2} + x_{3}}{2} \right)}+\dots+f{\left(\frac{x_{n-2} + x_{n-1}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{n-1} + x_{n}}{2} \right)}\right)$$$

onde $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.

Temos que $$$f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$$$, $$$a = 1$$$, $$$b = 3$$$ e $$$n = 2$$$.

Portanto, $$$\Delta x = \frac{3 - 1}{2} = 1$$$.

Divida o intervalo $$$\left[1, 3\right]$$$ em $$$n = 2$$$ subintervalos de comprimento $$$\Delta x = 1$$$ com os seguintes pontos finais: $$$a = 1$$$, $$$2$$$, $$$3 = b$$$.

Agora, basta calcular a função nos pontos médios dos subintervalos.

$$$f{\left(\frac{x_{0} + x_{1}}{2} \right)} = f{\left(\frac{1 + 2}{2} \right)} = f{\left(\frac{3}{2} \right)} = \frac{2 \sin{\left(\frac{3}{2} \right)}}{3}\approx 0.664996657736036$$$

$$$f{\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{2 + 3}{2} \right)} = f{\left(\frac{5}{2} \right)} = \frac{2 \sin{\left(\frac{5}{2} \right)}}{5}\approx 0.239388857641583$$$

Por fim, basta somar os valores acima e multiplicar por $$$\Delta x = 1$$$: $$$1 \left(0.664996657736036 + 0.239388857641583\right) = 0.904385515377619.$$$

$$$\int\limits_{1}^{3} \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\, dx\approx 0.904385515377619$$$A