Aproxime $$$\int\limits_{0}^{4} x^{2}\, dx$$$ com $$$n = 4$$$ usando a aproximação do ponto final esquerdo

Aproxime a integral $$$\int\limits_{0}^{4} x^{2}\, dx$$$ com $$$n = 4$$$ usando a aproximação do ponto final esquerdo.

A soma de Riemann à esquerda (também conhecida como aproximação do ponto final esquerdo) usa o ponto final esquerdo de um subintervalo para calcular a altura do retângulo de aproximação:

$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{0} \right)} + f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-2} \right)} + f{\left(x_{n-1} \right)}\right)$$$

onde $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.

Temos que $$$f{\left(x \right)} = x^{2}$$$, $$$a = 0$$$, $$$b = 4$$$ e $$$n = 4$$$.

Portanto, $$$\Delta x = \frac{4 - 0}{4} = 1$$$.

Divida o intervalo $$$\left[0, 4\right]$$$ em $$$n = 4$$$ subintervalos de comprimento $$$\Delta x = 1$$$ com os seguintes pontos finais: $$$a = 0$$$, $$$1$$$, $$$2$$$, $$$3$$$, $$$4 = b$$$.

Agora, apenas avalie a função nas extremidades esquerdas dos subintervalos.

$$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = 0$$$

$$$f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(1 \right)} = 1$$$

$$$f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(2 \right)} = 4$$$

$$$f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(3 \right)} = 9$$$

Por fim, basta somar os valores acima e multiplicar por $$$\Delta x = 1$$$: $$$1 \left(0 + 1 + 4 + 9\right) = 14$$$.

$$$\int\limits_{0}^{4} x^{2}\, dx\approx 14$$$A