Aproxime $$$\int\limits_{1}^{3} \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\, dx$$$ com $$$n = 2$$$ usando a aproximação do ponto final esquerdo

A calculadora aproximará a integral de $$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$$$ de $$$1$$$ a $$$3$$$ com $$$n = 2$$$ subintervalos usando a aproximação do ponto final esquerdo, com as etapas mostradas.

Calculadora relacionada: Calculadora de aproximação do ponto final esquerdo para uma tabela

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Aproxime a integral $$$\int\limits_{1}^{3} \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\, dx$$$ com $$$n = 2$$$ usando a aproximação do ponto final esquerdo.

Solução

A soma de Riemann à esquerda (também conhecida como aproximação do ponto final esquerdo) usa o ponto final esquerdo de um subintervalo para calcular a altura do retângulo de aproximação:

$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{0} \right)} + f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-2} \right)} + f{\left(x_{n-1} \right)}\right)$$$

onde $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.

Temos que $$$f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}$$$, $$$a = 1$$$, $$$b = 3$$$ e $$$n = 2$$$.

Portanto, $$$\Delta x = \frac{3 - 1}{2} = 1$$$.

Divida o intervalo $$$\left[1, 3\right]$$$ em $$$n = 2$$$ subintervalos de comprimento $$$\Delta x = 1$$$ com os seguintes pontos finais: $$$a = 1$$$, $$$2$$$, $$$3 = b$$$.

Agora, apenas avalie a função nas extremidades esquerdas dos subintervalos.

$$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(1 \right)} = \sin{\left(1 \right)}\approx 0.841470984807897$$$

$$$f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(2 \right)} = \frac{\sin{\left(2 \right)}}{2}\approx 0.454648713412841$$$

Por fim, basta somar os valores acima e multiplicar por $$$\Delta x = 1$$$: $$$1 \left(0.841470984807897 + 0.454648713412841\right) = 1.296119698220738.$$$

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$$$\int\limits_{1}^{3} \frac{\sin{\left(x \right)}}{x}\, dx\approx 1.296119698220738$$$A