Derivada de $$$\sin{\left(x y \right)}$$$ em relação a $$$y$$$

A calculadora encontrará a derivada de $$$\sin{\left(x y \right)}$$$ em relação a $$$y$$$, com as etapas mostradas.

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Encontre $$$\frac{d}{dy} \left(\sin{\left(x y \right)}\right)$$$.

Solução

A função $$$\sin{\left(x y \right)}$$$ é a composição $$$f{\left(g{\left(y \right)} \right)}$$$ de duas funções $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ e $$$g{\left(y \right)} = x y$$$.

Aplique a regra da cadeia $$$\frac{d}{dy} \left(f{\left(g{\left(y \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dy} \left(g{\left(y \right)}\right)$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dy} \left(\sin{\left(x y \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dy} \left(x y\right)\right)}$$

A derivada do seno é $$$\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) = \cos{\left(u \right)}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dy} \left(x y\right) = {\color{red}\left(\cos{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dy} \left(x y\right)$$

Volte para a variável antiga:

$$\cos{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dy} \left(x y\right) = \cos{\left({\color{red}\left(x y\right)} \right)} \frac{d}{dy} \left(x y\right)$$

Aplique a regra múltipla constante $$$\frac{d}{dy} \left(c f{\left(y \right)}\right) = c \frac{d}{dy} \left(f{\left(y \right)}\right)$$$ com $$$c = x$$$ e $$$f{\left(y \right)} = y$$$:

$$\cos{\left(x y \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dy} \left(x y\right)\right)} = \cos{\left(x y \right)} {\color{red}\left(x \frac{d}{dy} \left(y\right)\right)}$$

Aplique a regra de potência $$$\frac{d}{dy} \left(y^{n}\right) = n y^{n - 1}$$$ com $$$n = 1$$$, ou seja, $$$\frac{d}{dy} \left(y\right) = 1$$$:

$$x \cos{\left(x y \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dy} \left(y\right)\right)} = x \cos{\left(x y \right)} {\color{red}\left(1\right)}$$

Assim, $$$\frac{d}{dy} \left(\sin{\left(x y \right)}\right) = x \cos{\left(x y \right)}$$$.

Responder

$$$\frac{d}{dy} \left(\sin{\left(x y \right)}\right) = x \cos{\left(x y \right)}$$$A