|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Raakvlakrekenmachine
Bepaal raakvlakken stap voor stap
De rekenmachine probeert het raakvlak aan de expliciete en de impliciete kromme in het gegeven punt te vinden, waarbij de stappen worden getoond.
Uw invoer
Bereken het raakvlak aan $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 14$$$ in $$$\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)$$$.
Oplossing
De functie kan worden voorgesteld in de vorm $$$F{\left(x,y,z \right)} = 0$$$, waarbij $$$F{\left(x,y,z \right)} = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14$$$.
Bepaal de partiële afgeleiden.
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 x$$$ (voor de stappen, zie rekenmachine voor partiële afgeleiden.)
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 y$$$ (voor de stappen, zie rekenmachine voor partiële afgeleiden.)
$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial z} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 z$$$ (voor de stappen, zie rekenmachine voor partiële afgeleiden.)
Bereken de afgeleiden in het gegeven punt.
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 x\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 2$$$
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 y\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 6$$$
$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 z\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 4$$$
De vergelijking van het raakvlak is $$$\frac{\partial}{\partial x} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(x - x_{0}\right) + \frac{\partial}{\partial y} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(y - y_{0}\right) + \frac{\partial}{\partial z} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(z - z_{0}\right) = 0.$$$
In ons geval geldt $$$2 \left(x - 1\right) + 6 \left(y - 3\right) + 4 \left(z - 2\right) = 0$$$.
Dit kan worden herschreven als $$$2 x + 6 y + 4 z = 28$$$.
Of, eenvoudiger: $$$z = - \frac{x}{2} - \frac{3 y}{2} + 7$$$.
Antwoord
De vergelijking van het raakvlak is $$$z = - \frac{x}{2} - \frac{3 y}{2} + 7 = - 0.5 x - 1.5 y + 7$$$A.