Lagrange-multiplicatoren: bepaal maxima en minima van $$$f{\left(x,y,z \right)} = x y^{2} z^{3}$$$, onder de voorwaarde $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$

Bepaal de maximale en minimale waarden van $$$f{\left(x,y,z \right)} = x y^{2} z^{3}$$$ onder de voorwaarde $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$.

Let op! Deze rekenmachine controleert niet of aan de voorwaarden voor toepassing van de methode van Lagrange-multiplicatoren wordt voldaan. Gebruik op eigen risico: de uitkomst kan onjuist zijn.

Herschrijf de restrictie $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$ als $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 = 0$$$.

Stel de Lagrangiaan op: $$$L{\left(x,y,z,\lambda \right)} = x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)$$$.

Bepaal alle partiële afgeleiden van eerste orde:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = 2 \lambda x + y^{2} z^{3}$$$ (voor de stappen, zie rekenmachine voor partiële afgeleiden.)

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = 2 y \left(\lambda + x z^{3}\right)$$$ (voor de stappen, zie rekenmachine voor partiële afgeleiden.)

$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = z \left(2 \lambda + 3 x y^{2} z\right)$$$ (voor de stappen, zie rekenmachine voor partiële afgeleiden.)

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6$$$ (voor de stappen, zie rekenmachine voor partiële afgeleiden.)

Los vervolgens het stelsel $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial z} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$ of $$$\begin{cases} 2 \lambda x + y^{2} z^{3} = 0 \\ 2 y \left(\lambda + x z^{3}\right) = 0 \\ z \left(2 \lambda + 3 x y^{2} z\right) = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 = 0 \end{cases}$$$ op.

Het stelsel heeft de volgende reële oplossingen: $$$\left(x, y, z\right) = \left(\sqrt{6 - y^{2}}, y, 0\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(\sqrt{6 - z^{2}}, 0, z\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(- \sqrt{6 - y^{2}}, y, 0\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(- \sqrt{6 - z^{2}}, 0, z\right)$$$.

$$$f{\left(\sqrt{6 - y^{2}},y,0 \right)} = 0$$$

$$$f{\left(\sqrt{6 - z^{2}},0,z \right)} = 0$$$

$$$f{\left(- \sqrt{6 - y^{2}},y,0 \right)} = 0$$$

$$$f{\left(- \sqrt{6 - z^{2}},0,z \right)} = 0$$$

Aangezien we slechts één waarde hebben gevonden, moet je nog controleren of het het maximum of het minimum is. Neem hiervoor een ander punt dat aan de beperking(en) voldoet en bepaal de waarde van de functie in dat punt. Als de waarde in dit nieuwe punt kleiner is dan de waarde in het oorspronkelijke punt, dan is het oorspronkelijke punt het maximum. Omgekeerd, als de waarde in het nieuwe punt groter is, dan is het oorspronkelijke punt het minimum.

Kan het maximum en het minimum niet vinden.