Lagrange-multiplicatoren: bepaal maxima en minima van $$$f{\left(x,y \right)} = 81 x^{2} + y^{2}$$$, onder de voorwaarde $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$

Bepaal de maximale en minimale waarden van $$$f{\left(x,y \right)} = 81 x^{2} + y^{2}$$$ onder de voorwaarde $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$.

Let op! Deze rekenmachine controleert niet of aan de voorwaarden voor toepassing van de methode van Lagrange-multiplicatoren wordt voldaan. Gebruik op eigen risico: de uitkomst kan onjuist zijn.

Herschrijf de restrictie $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$ als $$$4 x^{2} + y^{2} - 9 = 0$$$.

Stel de Lagrangiaan op: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)$$$.

Bepaal alle partiële afgeleiden van eerste orde:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 2 x \left(4 \lambda + 81\right)$$$ (voor de stappen, zie rekenmachine voor partiële afgeleiden.)

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 2 y \left(\lambda + 1\right)$$$ (voor de stappen, zie rekenmachine voor partiële afgeleiden.)

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 4 x^{2} + y^{2} - 9$$$ (voor de stappen, zie rekenmachine voor partiële afgeleiden.)

Los vervolgens het stelsel $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$ of $$$\begin{cases} 2 x \left(4 \lambda + 81\right) = 0 \\ 2 y \left(\lambda + 1\right) = 0 \\ 4 x^{2} + y^{2} - 9 = 0 \end{cases}$$$ op.

Het stelsel heeft de volgende reële oplossingen: $$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{3}{2}, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, -3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{3}{2}, 0\right)$$$.

$$$f{\left(- \frac{3}{2},0 \right)} = \frac{729}{4}$$$

$$$f{\left(0,-3 \right)} = 9$$$

$$$f{\left(0,3 \right)} = 9$$$

$$$f{\left(\frac{3}{2},0 \right)} = \frac{729}{4}$$$

Dus is de minimumwaarde $$$9$$$ en de maximumwaarde $$$\frac{729}{4}$$$.

Maximum

$$$\frac{729}{4} = 182.25$$$A bij $$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{3}{2}, 0\right) = \left(-1.5, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{3}{2}, 0\right) = \left(1.5, 0\right)$$$A.

Minimum

$$$9$$$A bij $$$\left(x, y\right) = \left(0, -3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 3\right)$$$A.