No AI is used
English | Español | Português | Deutsch | Français
Italiano | Svenska | suomi | Ελληνικά | Türkçe
Indonesia | 日本語 | 한국어 | 简体中文 | 繁體中文
  1. Startpagina
  2. Rekenmachines
  3. Rekenmachines: Analyse III
  4. Rekenmachine voor differentiaal- en integraalrekening

Lagrange-multiplicatoren: bepaal maxima en minima van $$$f{\left(x,y \right)} = 4 x + y$$$, onder de voorwaarde $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$

De calculator zal proberen de maxima en minima van de functie $$$f{\left(x,y \right)} = 4 x + y$$$ van meerdere variabelen te vinden, onder de beperking $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$, met behulp van de methode van Lagrange-vermenigvuldigers, waarbij de stappen worden getoond.

Gerelateerde rekenmachine: Rekenmachine voor kritische punten, extremen en zadelpunten

Optioneel.

Als de rekenmachine iets niet heeft berekend, als u een fout hebt ontdekt of als u een suggestie/feedback hebt, neem dan contact met ons op.

Uw invoer

Bepaal de maximale en minimale waarden van $$$f{\left(x,y \right)} = 4 x + y$$$ onder de voorwaarde $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$.

Oplossing

Let op! Deze rekenmachine controleert niet of aan de voorwaarden voor toepassing van de methode van Lagrange-multiplicatoren wordt voldaan. Gebruik op eigen risico: de uitkomst kan onjuist zijn.

Herschrijf de restrictie $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$ als $$$- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20 = 0$$$.

Stel de Lagrangiaan op: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)$$$.

Bepaal alle partiële afgeleiden van eerste orde:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \lambda \sqrt{y}}{8 \sqrt{x}} + 4$$$ (voor de stappen, zie rekenmachine voor partiële afgeleiden.)

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \lambda \sqrt{x}}{8 \sqrt{y}} + 1$$$ (voor de stappen, zie rekenmachine voor partiële afgeleiden.)

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20$$$ (voor de stappen, zie rekenmachine voor partiële afgeleiden.)

Los vervolgens het stelsel $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$ of $$$\begin{cases} - \frac{5 \lambda \sqrt{y}}{8 \sqrt{x}} + 4 = 0 \\ - \frac{5 \lambda \sqrt{x}}{8 \sqrt{y}} + 1 = 0 \\ - \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20 = 0 \end{cases}$$$ op.

Het stelsel heeft de volgende reële oplossing: $$$\left(x, y\right) = \left(8, 32\right)$$$.

$$$f{\left(8,32 \right)} = 64$$$

Neem het punt $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{801}{100}, \frac{25600}{801}\right)$$$.

Aangezien $$$f{\left(\frac{801}{100},\frac{25600}{801} \right)} = \frac{1281601}{20025}$$$ groter is dan $$$64$$$, kan worden gesteld dat $$$64$$$ het minimum is.

Antwoord

Maximum

Geen maximum.

Minimum

$$$64$$$A bij $$$\left(x, y\right) = \left(8, 32\right)$$$A.


Please try a new game Rotatly