No AI is used
  1. Startpagina
  2. Rekenmachines
  3. Rekenmachines: Analyse III
  4. Rekenmachine voor differentiaal- en integraalrekening

Jacobiaanrekenmachine

Bereken de Jacobiaan stap voor stap

De rekenmachine bepaalt de Jacobimatrix van de verzameling functies en, indien mogelijk, de determinant van de Jacobiaan, met weergave van de stappen.

Door komma's gescheiden.
Laat leeg voor autodetectie of specificeer variabelen zoals x,y (komma-gescheiden).

Als de rekenmachine iets niet heeft berekend, als u een fout hebt ontdekt of als u een suggestie/feedback hebt, neem dan contact met ons op.

Uw invoer

Bereken de Jacobiaan van $$$\left\{x = r \cos{\left(\theta \right)}, y = r \sin{\left(\theta \right)}\right\}$$$.

Oplossing

De Jacobiaanse matrix wordt als volgt gedefinieerd: $$$J{\left(x,y \right)}\left(r, \theta\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta}\\\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}\end{array}\right].$$$

In ons geval geldt $$$J{\left(x,y \right)}\left(r, \theta\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial}{\partial r} \left(r \cos{\left(\theta \right)}\right) & \frac{\partial}{\partial \theta} \left(r \cos{\left(\theta \right)}\right)\\\frac{\partial}{\partial r} \left(r \sin{\left(\theta \right)}\right) & \frac{\partial}{\partial \theta} \left(r \sin{\left(\theta \right)}\right)\end{array}\right].$$$

Bepaal de afgeleiden (voor de stappen, zie afgeleiderekenmachine): $$$J{\left(x,y \right)}\left(r, \theta\right) = \left[\begin{array}{cc}\cos{\left(\theta \right)} & - r \sin{\left(\theta \right)}\\\sin{\left(\theta \right)} & r \cos{\left(\theta \right)}\end{array}\right].$$$

De Jacobiaanse determinant is de determinant van de Jacobiaanse matrix: $$$\left|\begin{array}{cc}\cos{\left(\theta \right)} & - r \sin{\left(\theta \right)}\\\sin{\left(\theta \right)} & r \cos{\left(\theta \right)}\end{array}\right| = r$$$ (voor de stappen, zie determinantencalculator).

Antwoord

De Jacobimatrix is $$$\left[\begin{array}{cc}\cos{\left(\theta \right)} & - r \sin{\left(\theta \right)}\\\sin{\left(\theta \right)} & r \cos{\left(\theta \right)}\end{array}\right]$$$A.

De determinant van de Jacobiaan is $$$r$$$A.