Mogelijke en daadwerkelijke rationele nulpunten van $$$f{\left(x \right)} = x^{3} - 31 x - 30$$$
Uw invoer
Vind de rationele nulpunten van $$$x^{3} - 31 x - 30 = 0$$$.
Oplossing
Aangezien alle coëfficiënten gehele getallen zijn, kunnen we de stelling van de rationale wortels toepassen.
De laatste coëfficiënt (de coëfficiënt van de constante term) is $$$-30$$$.
Vind de factoren ervan (met het plusteken en het minteken): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 6$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 15$$$, $$$\pm 30$$$.
Dit zijn de mogelijke waarden voor $$$p$$$.
De leidende coëfficiënt (de coëfficiënt van de term met de hoogste graad) is $$$1$$$.
Vind de factoren (met het plus- en minteken): $$$\pm 1$$$.
Dit zijn de mogelijke waarden voor $$$q$$$.
Bepaal alle mogelijke waarden van $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{5}{1}$$$, $$$\pm \frac{6}{1}$$$, $$$\pm \frac{10}{1}$$$, $$$\pm \frac{15}{1}$$$, $$$\pm \frac{30}{1}$$$.
Vereenvoudig en verwijder de duplicaten (indien aanwezig).
Dit zijn de mogelijke rationele nulpunten: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 6$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 15$$$, $$$\pm 30$$$.
Controleer vervolgens de mogelijke wortels: als $$$a$$$ een wortel van de veelterm $$$P{\left(x \right)}$$$ is, moet de rest bij de deling van $$$P{\left(x \right)}$$$ door $$$x - a$$$ gelijk zijn aan $$$0$$$ (volgens de reststelling betekent dit dat $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Controleer $$$1$$$: deel $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ door $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = -60$$$; dus is de rest $$$-60$$$.
Controleer $$$-1$$$: deel $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ door $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$; dus is de rest $$$0$$$.
Dus is $$$-1$$$ een wortel.
Controleer $$$2$$$: deel $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ door $$$x - 2$$$.
$$$P{\left(2 \right)} = -84$$$; dus is de rest $$$-84$$$.
Controleer $$$-2$$$: deel $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ door $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.
$$$P{\left(-2 \right)} = 24$$$; dus is de rest $$$24$$$.
Controleer $$$3$$$: deel $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ door $$$x - 3$$$.
$$$P{\left(3 \right)} = -96$$$; dus is de rest $$$-96$$$.
Controleer $$$-3$$$: deel $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ door $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$.
$$$P{\left(-3 \right)} = 36$$$; dus is de rest $$$36$$$.
Controleer $$$5$$$: deel $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ door $$$x - 5$$$.
$$$P{\left(5 \right)} = -60$$$; dus is de rest $$$-60$$$.
Controleer $$$-5$$$: deel $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ door $$$x - \left(-5\right) = x + 5$$$.
$$$P{\left(-5 \right)} = 0$$$; dus is de rest $$$0$$$.
Dus is $$$-5$$$ een wortel.
Controleer $$$6$$$: deel $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ door $$$x - 6$$$.
$$$P{\left(6 \right)} = 0$$$; dus is de rest $$$0$$$.
Dus is $$$6$$$ een wortel.
Controleer $$$-6$$$: deel $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ door $$$x - \left(-6\right) = x + 6$$$.
$$$P{\left(-6 \right)} = -60$$$; dus is de rest $$$-60$$$.
Controleer $$$10$$$: deel $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ door $$$x - 10$$$.
$$$P{\left(10 \right)} = 660$$$; dus is de rest $$$660$$$.
Controleer $$$-10$$$: deel $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ door $$$x - \left(-10\right) = x + 10$$$.
$$$P{\left(-10 \right)} = -720$$$; dus is de rest $$$-720$$$.
Controleer $$$15$$$: deel $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ door $$$x - 15$$$.
$$$P{\left(15 \right)} = 2880$$$; dus is de rest $$$2880$$$.
Controleer $$$-15$$$: deel $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ door $$$x - \left(-15\right) = x + 15$$$.
$$$P{\left(-15 \right)} = -2940$$$; dus is de rest $$$-2940$$$.
Controleer $$$30$$$: deel $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ door $$$x - 30$$$.
$$$P{\left(30 \right)} = 26040$$$; dus is de rest $$$26040$$$.
Controleer $$$-30$$$: deel $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ door $$$x - \left(-30\right) = x + 30$$$.
$$$P{\left(-30 \right)} = -26100$$$; dus is de rest $$$-26100$$$.
Antwoord
Mogelijke rationele wortels: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 6$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 15$$$, $$$\pm 30$$$A.
Daadwerkelijke rationele wortels: $$$-1$$$, $$$-5$$$, $$$6$$$A.