Mogelijke en daadwerkelijke rationele nulpunten van $$$f{\left(x \right)} = x^{6} - 64$$$
Uw invoer
Vind de rationele nulpunten van $$$x^{6} - 64 = 0$$$.
Oplossing
Aangezien alle coëfficiënten gehele getallen zijn, kunnen we de stelling van de rationale wortels toepassen.
De laatste coëfficiënt (de coëfficiënt van de constante term) is $$$-64$$$.
Vind de factoren ervan (met het plusteken en het minteken): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 8$$$, $$$\pm 16$$$, $$$\pm 32$$$, $$$\pm 64$$$.
Dit zijn de mogelijke waarden voor $$$p$$$.
De leidende coëfficiënt (de coëfficiënt van de term met de hoogste graad) is $$$1$$$.
Vind de factoren (met het plus- en minteken): $$$\pm 1$$$.
Dit zijn de mogelijke waarden voor $$$q$$$.
Bepaal alle mogelijke waarden van $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{4}{1}$$$, $$$\pm \frac{8}{1}$$$, $$$\pm \frac{16}{1}$$$, $$$\pm \frac{32}{1}$$$, $$$\pm \frac{64}{1}$$$.
Vereenvoudig en verwijder de duplicaten (indien aanwezig).
Dit zijn de mogelijke rationele nulpunten: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 8$$$, $$$\pm 16$$$, $$$\pm 32$$$, $$$\pm 64$$$.
Controleer vervolgens de mogelijke wortels: als $$$a$$$ een wortel van de veelterm $$$P{\left(x \right)}$$$ is, moet de rest bij de deling van $$$P{\left(x \right)}$$$ door $$$x - a$$$ gelijk zijn aan $$$0$$$ (volgens de reststelling betekent dit dat $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Controleer $$$1$$$: deel $$$x^{6} - 64$$$ door $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = -63$$$; dus is de rest $$$-63$$$.
Controleer $$$-1$$$: deel $$$x^{6} - 64$$$ door $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = -63$$$; dus is de rest $$$-63$$$.
Controleer $$$2$$$: deel $$$x^{6} - 64$$$ door $$$x - 2$$$.
$$$P{\left(2 \right)} = 0$$$; dus is de rest $$$0$$$.
Dus is $$$2$$$ een wortel.
Controleer $$$-2$$$: deel $$$x^{6} - 64$$$ door $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.
$$$P{\left(-2 \right)} = 0$$$; dus is de rest $$$0$$$.
Dus is $$$-2$$$ een wortel.
Controleer $$$4$$$: deel $$$x^{6} - 64$$$ door $$$x - 4$$$.
$$$P{\left(4 \right)} = 4032$$$; dus is de rest $$$4032$$$.
Controleer $$$-4$$$: deel $$$x^{6} - 64$$$ door $$$x - \left(-4\right) = x + 4$$$.
$$$P{\left(-4 \right)} = 4032$$$; dus is de rest $$$4032$$$.
Controleer $$$8$$$: deel $$$x^{6} - 64$$$ door $$$x - 8$$$.
$$$P{\left(8 \right)} = 262080$$$; dus is de rest $$$262080$$$.
Controleer $$$-8$$$: deel $$$x^{6} - 64$$$ door $$$x - \left(-8\right) = x + 8$$$.
$$$P{\left(-8 \right)} = 262080$$$; dus is de rest $$$262080$$$.
Controleer $$$16$$$: deel $$$x^{6} - 64$$$ door $$$x - 16$$$.
$$$P{\left(16 \right)} = 16777152$$$; dus is de rest $$$16777152$$$.
Controleer $$$-16$$$: deel $$$x^{6} - 64$$$ door $$$x - \left(-16\right) = x + 16$$$.
$$$P{\left(-16 \right)} = 16777152$$$; dus is de rest $$$16777152$$$.
Controleer $$$32$$$: deel $$$x^{6} - 64$$$ door $$$x - 32$$$.
$$$P{\left(32 \right)} = 1073741760$$$; dus is de rest $$$1073741760$$$.
Controleer $$$-32$$$: deel $$$x^{6} - 64$$$ door $$$x - \left(-32\right) = x + 32$$$.
$$$P{\left(-32 \right)} = 1073741760$$$; dus is de rest $$$1073741760$$$.
Controleer $$$64$$$: deel $$$x^{6} - 64$$$ door $$$x - 64$$$.
$$$P{\left(64 \right)} = 68719476672$$$; dus is de rest $$$68719476672$$$.
Controleer $$$-64$$$: deel $$$x^{6} - 64$$$ door $$$x - \left(-64\right) = x + 64$$$.
$$$P{\left(-64 \right)} = 68719476672$$$; dus is de rest $$$68719476672$$$.
Antwoord
Mogelijke rationele wortels: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 8$$$, $$$\pm 16$$$, $$$\pm 32$$$, $$$\pm 64$$$A.
Daadwerkelijke rationele wortels: $$$2$$$, $$$-2$$$A.