Deel $$$x^{4}$$$ door $$$x^{2} - 1$$$

Schrijf de opgave in het speciale formaat (ontbrekende termen worden met coëfficiënt nul geschreven):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x^{2}-1&x^{4}+0 x^{3}+0 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

Stap 1

Deel de leidende term van het deeltal door de leidende term van de deler: $$$\frac{x^{4}}{x^{2}} = x^{2}$$$.

Schrijf het berekende resultaat op in het bovenste deel van de tabel.

Vermenigvuldig het met de deler: $$$x^{2} \left(x^{2}-1\right) = x^{4}- x^{2}$$$.

Trek het deeltal af van het verkregen resultaat: $$$\left(x^{4}\right) - \left(x^{4}- x^{2}\right) = x^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Violet}x^{2}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}-1&{\color{Violet}x^{4}}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Violet}x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Violet}x^{2}}\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&{\color{Violet}x^{2}} \left(x^{2}-1\right) = x^{4}- x^{2}\\\hline\\&&&x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

Stap 2

Deel de leidende term van de verkregen rest door de leidende term van de deler: $$$\frac{x^{2}}{x^{2}} = 1$$$.

Schrijf het berekende resultaat op in het bovenste deel van de tabel.

Vermenigvuldig het met de deler: $$$1 \left(x^{2}-1\right) = x^{2}-1$$$.

Trek de rest af van het verkregen resultaat: $$$\left(x^{2}\right) - \left(x^{2}-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&x^{2}&{\color{DarkBlue}+1}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}-1&x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{DarkBlue}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{DarkBlue}x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{DarkBlue}1}\\&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&x^{2}&+0 x&-1&{\color{DarkBlue}1} \left(x^{2}-1\right) = x^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Aangezien de graad van de rest kleiner is dan de graad van de deler, zijn we klaar.

De resulterende tabel wordt nogmaals weergegeven:

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Violet}x^{2}}&{\color{DarkBlue}+1}&&&&\text{Aanwijzingen}\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}-1&{\color{Violet}x^{4}}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Violet}x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Violet}x^{2}}\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&{\color{Violet}x^{2}} \left(x^{2}-1\right) = x^{4}- x^{2}\\\hline\\&&&{\color{DarkBlue}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{DarkBlue}x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{DarkBlue}1}\\&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&x^{2}&+0 x&-1&{\color{DarkBlue}1} \left(x^{2}-1\right) = x^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Daarom geldt $$$\frac{x^{4}}{x^{2} - 1} = \left(x^{2} + 1\right) + \frac{1}{x^{2} - 1}$$$.