Deel $$$x^{3} - 2 x^{2}$$$ door $$$x^{2} + 1$$$

Schrijf de opgave in het speciale formaat (ontbrekende termen worden met coëfficiënt nul geschreven):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x^{2}+1&x^{3}- 2 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

Stap 1

Deel de leidende term van het deeltal door de leidende term van de deler: $$$\frac{x^{3}}{x^{2}} = x$$$.

Schrijf het berekende resultaat op in het bovenste deel van de tabel.

Vermenigvuldig het met de deler: $$$x \left(x^{2}+1\right) = x^{3}+x$$$.

Trek het deeltal af van het verkregen resultaat: $$$\left(x^{3}- 2 x^{2}\right) - \left(x^{3}+x\right) = - 2 x^{2}- x$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{DarkMagenta}x}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&{\color{DarkMagenta}x^{3}}&- 2 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{DarkMagenta}x^{3}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{DarkMagenta}x}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&+0 x^{2}&+x&&{\color{DarkMagenta}x} \left(x^{2}+1\right) = x^{3}+x\\\hline\\&&- 2 x^{2}&- x&+0&\end{array}$$

Stap 2

Deel de leidende term van de verkregen rest door de leidende term van de deler: $$$\frac{- 2 x^{2}}{x^{2}} = -2$$$.

Schrijf het berekende resultaat op in het bovenste deel van de tabel.

Vermenigvuldig het met de deler: $$$- 2 \left(x^{2}+1\right) = - 2 x^{2}-2$$$.

Trek de rest af van het verkregen resultaat: $$$\left(- 2 x^{2}- x\right) - \left(- 2 x^{2}-2\right) = - x+2$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x&{\color{Peru}-2}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&x^{3}&- 2 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&+0 x^{2}&+x&&\\\hline\\&&{\color{Peru}- 2 x^{2}}&- x&+0&\frac{{\color{Peru}- 2 x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Peru}-2}\\&&-\phantom{- 2 x^{2}}&&&\\&&- 2 x^{2}&+0 x&-2&{\color{Peru}-2} \left(x^{2}+1\right) = - 2 x^{2}-2\\\hline\\&&&- x&+2&\end{array}$$

Aangezien de graad van de rest kleiner is dan de graad van de deler, zijn we klaar.

De resulterende tabel wordt nogmaals weergegeven:

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{DarkMagenta}x}&{\color{Peru}-2}&&&\text{Aanwijzingen}\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&{\color{DarkMagenta}x^{3}}&- 2 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{DarkMagenta}x^{3}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{DarkMagenta}x}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&+0 x^{2}&+x&&{\color{DarkMagenta}x} \left(x^{2}+1\right) = x^{3}+x\\\hline\\&&{\color{Peru}- 2 x^{2}}&- x&+0&\frac{{\color{Peru}- 2 x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Peru}-2}\\&&-\phantom{- 2 x^{2}}&&&\\&&- 2 x^{2}&+0 x&-2&{\color{Peru}-2} \left(x^{2}+1\right) = - 2 x^{2}-2\\\hline\\&&&- x&+2&\end{array}$$

Daarom geldt $$$\frac{x^{3} - 2 x^{2}}{x^{2} + 1} = \left(x - 2\right) + \frac{2 - x}{x^{2} + 1}$$$.