Deel $$$y^{3}$$$ door $$$1 - y$$$

Schrijf de opgave in het speciale formaat (ontbrekende termen worden met coëfficiënt nul geschreven):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\- y+1&y^{3}+0 y^{2}+0 y+0\end{array}$$$

Stap 1

Deel de leidende term van het deeltal door de leidende term van de deler: $$$\frac{y^{3}}{- y} = - y^{2}$$$.

Schrijf het berekende resultaat op in het bovenste deel van de tabel.

Vermenigvuldig het met de deler: $$$- y^{2} \left(- y+1\right) = y^{3}- y^{2}$$$.

Trek het deeltal af van het verkregen resultaat: $$$\left(y^{3}\right) - \left(y^{3}- y^{2}\right) = y^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Violet}- y^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&{\color{Violet}y^{3}}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\frac{{\color{Violet}y^{3}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{Violet}- y^{2}}\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&{\color{Violet}- y^{2}} \left(- y+1\right) = y^{3}- y^{2}\\\hline\\&&y^{2}&+0 y&+0&\end{array}$$

Stap 2

Deel de leidende term van de verkregen rest door de leidende term van de deler: $$$\frac{y^{2}}{- y} = - y$$$.

Schrijf het berekende resultaat op in het bovenste deel van de tabel.

Vermenigvuldig het met de deler: $$$- y \left(- y+1\right) = y^{2}- y$$$.

Trek de rest af van het verkregen resultaat: $$$\left(y^{2}\right) - \left(y^{2}- y\right) = y$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&- y^{2}&{\color{GoldenRod}- y}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&y^{3}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{GoldenRod}y^{2}}&+0 y&+0&\frac{{\color{GoldenRod}y^{2}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{GoldenRod}- y}\\&&-\phantom{y^{2}}&&&\\&&y^{2}&- y&&{\color{GoldenRod}- y} \left(- y+1\right) = y^{2}- y\\\hline\\&&&y&+0&\end{array}$$

Stap 3

Deel de leidende term van de verkregen rest door de leidende term van de deler: $$$\frac{y}{- y} = -1$$$.

Schrijf het berekende resultaat op in het bovenste deel van de tabel.

Vermenigvuldig het met de deler: $$$- \left(- y+1\right) = y-1$$$.

Trek de rest af van het verkregen resultaat: $$$\left(y\right) - \left(y-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&- y^{2}&- y&{\color{Crimson}-1}&&\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&y^{3}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&\\\hline\\&&y^{2}&+0 y&+0&\\&&-\phantom{y^{2}}&&&\\&&y^{2}&- y&&\\\hline\\&&&{\color{Crimson}y}&+0&\frac{{\color{Crimson}y}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{Crimson}-1}\\&&&-\phantom{y}&&\\&&&y&-1&{\color{Crimson}-1} \left(- y+1\right) = y-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Aangezien de graad van de rest kleiner is dan de graad van de deler, zijn we klaar.

De resulterende tabel wordt nogmaals weergegeven:

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Violet}- y^{2}}&{\color{GoldenRod}- y}&{\color{Crimson}-1}&&\text{Aanwijzingen}\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&{\color{Violet}y^{3}}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\frac{{\color{Violet}y^{3}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{Violet}- y^{2}}\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&{\color{Violet}- y^{2}} \left(- y+1\right) = y^{3}- y^{2}\\\hline\\&&{\color{GoldenRod}y^{2}}&+0 y&+0&\frac{{\color{GoldenRod}y^{2}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{GoldenRod}- y}\\&&-\phantom{y^{2}}&&&\\&&y^{2}&- y&&{\color{GoldenRod}- y} \left(- y+1\right) = y^{2}- y\\\hline\\&&&{\color{Crimson}y}&+0&\frac{{\color{Crimson}y}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{Crimson}-1}\\&&&-\phantom{y}&&\\&&&y&-1&{\color{Crimson}-1} \left(- y+1\right) = y-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Daarom geldt $$$\frac{y^{3}}{1 - y} = \left(- y^{2} - y - 1\right) + \frac{1}{1 - y}$$$.