Deel $$$u^{2}$$$ door $$$1 - u$$$

Schrijf de opgave in het speciale formaat (ontbrekende termen worden met coëfficiënt nul geschreven):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\- u+1&u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

Stap 1

Deel de leidende term van het deeltal door de leidende term van de deler: $$$\frac{u^{2}}{- u} = - u$$$.

Schrijf het berekende resultaat op in het bovenste deel van de tabel.

Vermenigvuldig het met de deler: $$$- u \left(- u+1\right) = u^{2}- u$$$.

Trek het deeltal af van het verkregen resultaat: $$$\left(u^{2}\right) - \left(u^{2}- u\right) = u$$$.

$$\begin{array}{r|rrr:c}&{\color{DarkMagenta}- u}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}- u}+1&{\color{DarkMagenta}u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{DarkMagenta}u^{2}}}{{\color{Magenta}- u}} = {\color{DarkMagenta}- u}\\&-\phantom{u^{2}}&&&\\&u^{2}&- u&&{\color{DarkMagenta}- u} \left(- u+1\right) = u^{2}- u\\\hline\\&&u&+0&\end{array}$$

Stap 2

Deel de leidende term van de verkregen rest door de leidende term van de deler: $$$\frac{u}{- u} = -1$$$.

Schrijf het berekende resultaat op in het bovenste deel van de tabel.

Vermenigvuldig het met de deler: $$$- \left(- u+1\right) = u-1$$$.

Trek de rest af van het verkregen resultaat: $$$\left(u\right) - \left(u-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrr:c}&- u&{\color{Chocolate}-1}&&\\\hline\\{\color{Magenta}- u}+1&u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{2}}&&&\\&u^{2}&- u&&\\\hline\\&&{\color{Chocolate}u}&+0&\frac{{\color{Chocolate}u}}{{\color{Magenta}- u}} = {\color{Chocolate}-1}\\&&-\phantom{u}&&\\&&u&-1&{\color{Chocolate}-1} \left(- u+1\right) = u-1\\\hline\\&&&1&\end{array}$$

Aangezien de graad van de rest kleiner is dan de graad van de deler, zijn we klaar.

De resulterende tabel wordt nogmaals weergegeven:

$$\begin{array}{r|rrr:c}&{\color{DarkMagenta}- u}&{\color{Chocolate}-1}&&\text{Aanwijzingen}\\\hline\\{\color{Magenta}- u}+1&{\color{DarkMagenta}u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{DarkMagenta}u^{2}}}{{\color{Magenta}- u}} = {\color{DarkMagenta}- u}\\&-\phantom{u^{2}}&&&\\&u^{2}&- u&&{\color{DarkMagenta}- u} \left(- u+1\right) = u^{2}- u\\\hline\\&&{\color{Chocolate}u}&+0&\frac{{\color{Chocolate}u}}{{\color{Magenta}- u}} = {\color{Chocolate}-1}\\&&-\phantom{u}&&\\&&u&-1&{\color{Chocolate}-1} \left(- u+1\right) = u-1\\\hline\\&&&1&\end{array}$$

Daarom geldt $$$\frac{u^{2}}{1 - u} = \left(- u - 1\right) + \frac{1}{1 - u}$$$.