Deel $$$v^{4}$$$ door $$$v^{2} + 1$$$

Schrijf de opgave in het speciale formaat (ontbrekende termen worden met coëfficiënt nul geschreven):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\v^{2}+1&v^{4}+0 v^{3}+0 v^{2}+0 v+0\end{array}$$$

Stap 1

Deel de leidende term van het deeltal door de leidende term van de deler: $$$\frac{v^{4}}{v^{2}} = v^{2}$$$.

Schrijf het berekende resultaat op in het bovenste deel van de tabel.

Vermenigvuldig het met de deler: $$$v^{2} \left(v^{2}+1\right) = v^{4}+v^{2}$$$.

Trek het deeltal af van het verkregen resultaat: $$$\left(v^{4}\right) - \left(v^{4}+v^{2}\right) = - v^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{DarkCyan}v^{2}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}v^{2}}+1&{\color{DarkCyan}v^{4}}&+0 v^{3}&+0 v^{2}&+0 v&+0&\frac{{\color{DarkCyan}v^{4}}}{{\color{Magenta}v^{2}}} = {\color{DarkCyan}v^{2}}\\&-\phantom{v^{4}}&&&&&\\&v^{4}&+0 v^{3}&+v^{2}&&&{\color{DarkCyan}v^{2}} \left(v^{2}+1\right) = v^{4}+v^{2}\\\hline\\&&&- v^{2}&+0 v&+0&\end{array}$$

Stap 2

Deel de leidende term van de verkregen rest door de leidende term van de deler: $$$\frac{- v^{2}}{v^{2}} = -1$$$.

Schrijf het berekende resultaat op in het bovenste deel van de tabel.

Vermenigvuldig het met de deler: $$$- \left(v^{2}+1\right) = - v^{2}-1$$$.

Trek de rest af van het verkregen resultaat: $$$\left(- v^{2}\right) - \left(- v^{2}-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&v^{2}&{\color{Chocolate}-1}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}v^{2}}+1&v^{4}&+0 v^{3}&+0 v^{2}&+0 v&+0&\\&-\phantom{v^{4}}&&&&&\\&v^{4}&+0 v^{3}&+v^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{Chocolate}- v^{2}}&+0 v&+0&\frac{{\color{Chocolate}- v^{2}}}{{\color{Magenta}v^{2}}} = {\color{Chocolate}-1}\\&&&-\phantom{- v^{2}}&&&\\&&&- v^{2}&+0 v&-1&{\color{Chocolate}-1} \left(v^{2}+1\right) = - v^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Aangezien de graad van de rest kleiner is dan de graad van de deler, zijn we klaar.

De resulterende tabel wordt nogmaals weergegeven:

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{DarkCyan}v^{2}}&{\color{Chocolate}-1}&&&&\text{Aanwijzingen}\\\hline\\{\color{Magenta}v^{2}}+1&{\color{DarkCyan}v^{4}}&+0 v^{3}&+0 v^{2}&+0 v&+0&\frac{{\color{DarkCyan}v^{4}}}{{\color{Magenta}v^{2}}} = {\color{DarkCyan}v^{2}}\\&-\phantom{v^{4}}&&&&&\\&v^{4}&+0 v^{3}&+v^{2}&&&{\color{DarkCyan}v^{2}} \left(v^{2}+1\right) = v^{4}+v^{2}\\\hline\\&&&{\color{Chocolate}- v^{2}}&+0 v&+0&\frac{{\color{Chocolate}- v^{2}}}{{\color{Magenta}v^{2}}} = {\color{Chocolate}-1}\\&&&-\phantom{- v^{2}}&&&\\&&&- v^{2}&+0 v&-1&{\color{Chocolate}-1} \left(v^{2}+1\right) = - v^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Daarom geldt $$$\frac{v^{4}}{v^{2} + 1} = \left(v^{2} - 1\right) + \frac{1}{v^{2} + 1}$$$.