Deel $$$u^{3}$$$ door $$$u - 1$$$

Schrijf de opgave in het speciale formaat (ontbrekende termen worden met coëfficiënt nul geschreven):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u-1&u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

Stap 1

Deel de leidende term van het deeltal door de leidende term van de deler: $$$\frac{u^{3}}{u} = u^{2}$$$.

Schrijf het berekende resultaat op in het bovenste deel van de tabel.

Vermenigvuldig het met de deler: $$$u^{2} \left(u-1\right) = u^{3}- u^{2}$$$.

Trek het deeltal af van het verkregen resultaat: $$$\left(u^{3}\right) - \left(u^{3}- u^{2}\right) = u^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Red}u^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&{\color{Red}u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Red}u^{3}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Red}u^{2}}\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&{\color{Red}u^{2}} \left(u-1\right) = u^{3}- u^{2}\\\hline\\&&u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

Stap 2

Deel de leidende term van de verkregen rest door de leidende term van de deler: $$$\frac{u^{2}}{u} = u$$$.

Schrijf het berekende resultaat op in het bovenste deel van de tabel.

Vermenigvuldig het met de deler: $$$u \left(u-1\right) = u^{2}- u$$$.

Trek de rest af van het verkregen resultaat: $$$\left(u^{2}\right) - \left(u^{2}- u\right) = u$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&u^{2}&{\color{SaddleBrown}+u}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{SaddleBrown}u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}u^{2}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{SaddleBrown}u}\\&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&u^{2}&- u&&{\color{SaddleBrown}u} \left(u-1\right) = u^{2}- u\\\hline\\&&&u&+0&\end{array}$$

Stap 3

Deel de leidende term van de verkregen rest door de leidende term van de deler: $$$\frac{u}{u} = 1$$$.

Schrijf het berekende resultaat op in het bovenste deel van de tabel.

Vermenigvuldig het met de deler: $$$1 \left(u-1\right) = u-1$$$.

Trek de rest af van het verkregen resultaat: $$$\left(u\right) - \left(u-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&u^{2}&+u&{\color{DeepPink}+1}&&\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&\\\hline\\&&u^{2}&+0 u&+0&\\&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&u^{2}&- u&&\\\hline\\&&&{\color{DeepPink}u}&+0&\frac{{\color{DeepPink}u}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{DeepPink}1}\\&&&-\phantom{u}&&\\&&&u&-1&{\color{DeepPink}1} \left(u-1\right) = u-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Aangezien de graad van de rest kleiner is dan de graad van de deler, zijn we klaar.

De resulterende tabel wordt nogmaals weergegeven:

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Red}u^{2}}&{\color{SaddleBrown}+u}&{\color{DeepPink}+1}&&\text{Aanwijzingen}\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&{\color{Red}u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Red}u^{3}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Red}u^{2}}\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&{\color{Red}u^{2}} \left(u-1\right) = u^{3}- u^{2}\\\hline\\&&{\color{SaddleBrown}u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}u^{2}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{SaddleBrown}u}\\&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&u^{2}&- u&&{\color{SaddleBrown}u} \left(u-1\right) = u^{2}- u\\\hline\\&&&{\color{DeepPink}u}&+0&\frac{{\color{DeepPink}u}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{DeepPink}1}\\&&&-\phantom{u}&&\\&&&u&-1&{\color{DeepPink}1} \left(u-1\right) = u-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Daarom geldt $$$\frac{u^{3}}{u - 1} = \left(u^{2} + u + 1\right) + \frac{1}{u - 1}$$$.