Deel $$$u^{5}$$$ door $$$u^{2} + 1$$$

Schrijf de opgave in het speciale formaat (ontbrekende termen worden met coëfficiënt nul geschreven):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u^{2}+1&u^{5}+0 u^{4}+0 u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

Stap 1

Deel de leidende term van het deeltal door de leidende term van de deler: $$$\frac{u^{5}}{u^{2}} = u^{3}$$$.

Schrijf het berekende resultaat op in het bovenste deel van de tabel.

Vermenigvuldig het met de deler: $$$u^{3} \left(u^{2}+1\right) = u^{5}+u^{3}$$$.

Trek het deeltal af van het verkregen resultaat: $$$\left(u^{5}\right) - \left(u^{5}+u^{3}\right) = - u^{3}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrr:c}&{\color{Crimson}u^{3}}&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{Crimson}u^{5}}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Crimson}u^{5}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Crimson}u^{3}}\\&-\phantom{u^{5}}&&&&&&\\&u^{5}&+0 u^{4}&+u^{3}&&&&{\color{Crimson}u^{3}} \left(u^{2}+1\right) = u^{5}+u^{3}\\\hline\\&&&- u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

Stap 2

Deel de leidende term van de verkregen rest door de leidende term van de deler: $$$\frac{- u^{3}}{u^{2}} = - u$$$.

Schrijf het berekende resultaat op in het bovenste deel van de tabel.

Vermenigvuldig het met de deler: $$$- u \left(u^{2}+1\right) = - u^{3}- u$$$.

Trek de rest af van het verkregen resultaat: $$$\left(- u^{3}\right) - \left(- u^{3}- u\right) = u$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrr:c}&u^{3}&{\color{DarkBlue}- u}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{5}}&&&&&&\\&u^{5}&+0 u^{4}&+u^{3}&&&&\\\hline\\&&&{\color{DarkBlue}- u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{DarkBlue}- u^{3}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{DarkBlue}- u}\\&&&-\phantom{- u^{3}}&&&&\\&&&- u^{3}&+0 u^{2}&- u&&{\color{DarkBlue}- u} \left(u^{2}+1\right) = - u^{3}- u\\\hline\\&&&&&u&+0&\end{array}$$

Aangezien de graad van de rest kleiner is dan de graad van de deler, zijn we klaar.

De resulterende tabel wordt nogmaals weergegeven:

$$\begin{array}{r|rrrrrr:c}&{\color{Crimson}u^{3}}&{\color{DarkBlue}- u}&&&&&\text{Aanwijzingen}\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{Crimson}u^{5}}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Crimson}u^{5}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Crimson}u^{3}}\\&-\phantom{u^{5}}&&&&&&\\&u^{5}&+0 u^{4}&+u^{3}&&&&{\color{Crimson}u^{3}} \left(u^{2}+1\right) = u^{5}+u^{3}\\\hline\\&&&{\color{DarkBlue}- u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{DarkBlue}- u^{3}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{DarkBlue}- u}\\&&&-\phantom{- u^{3}}&&&&\\&&&- u^{3}&+0 u^{2}&- u&&{\color{DarkBlue}- u} \left(u^{2}+1\right) = - u^{3}- u\\\hline\\&&&&&u&+0&\end{array}$$

Daarom geldt $$$\frac{u^{5}}{u^{2} + 1} = \left(u^{3} - u\right) + \frac{u}{u^{2} + 1}$$$.