Deel $$$u^{4}$$$ door $$$u^{2} + 1$$$

Schrijf de opgave in het speciale formaat (ontbrekende termen worden met coëfficiënt nul geschreven):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u^{2}+1&u^{4}+0 u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

Stap 1

Deel de leidende term van het deeltal door de leidende term van de deler: $$$\frac{u^{4}}{u^{2}} = u^{2}$$$.

Schrijf het berekende resultaat op in het bovenste deel van de tabel.

Vermenigvuldig het met de deler: $$$u^{2} \left(u^{2}+1\right) = u^{4}+u^{2}$$$.

Trek het deeltal af van het verkregen resultaat: $$$\left(u^{4}\right) - \left(u^{4}+u^{2}\right) = - u^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{OrangeRed}u^{2}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{OrangeRed}u^{4}}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{OrangeRed}u^{4}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{OrangeRed}u^{2}}\\&-\phantom{u^{4}}&&&&&\\&u^{4}&+0 u^{3}&+u^{2}&&&{\color{OrangeRed}u^{2}} \left(u^{2}+1\right) = u^{4}+u^{2}\\\hline\\&&&- u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

Stap 2

Deel de leidende term van de verkregen rest door de leidende term van de deler: $$$\frac{- u^{2}}{u^{2}} = -1$$$.

Schrijf het berekende resultaat op in het bovenste deel van de tabel.

Vermenigvuldig het met de deler: $$$- \left(u^{2}+1\right) = - u^{2}-1$$$.

Trek de rest af van het verkregen resultaat: $$$\left(- u^{2}\right) - \left(- u^{2}-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&u^{2}&{\color{Red}-1}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{4}}&&&&&\\&u^{4}&+0 u^{3}&+u^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{Red}- u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{Red}- u^{2}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Red}-1}\\&&&-\phantom{- u^{2}}&&&\\&&&- u^{2}&+0 u&-1&{\color{Red}-1} \left(u^{2}+1\right) = - u^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Aangezien de graad van de rest kleiner is dan de graad van de deler, zijn we klaar.

De resulterende tabel wordt nogmaals weergegeven:

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{OrangeRed}u^{2}}&{\color{Red}-1}&&&&\text{Aanwijzingen}\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{OrangeRed}u^{4}}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{OrangeRed}u^{4}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{OrangeRed}u^{2}}\\&-\phantom{u^{4}}&&&&&\\&u^{4}&+0 u^{3}&+u^{2}&&&{\color{OrangeRed}u^{2}} \left(u^{2}+1\right) = u^{4}+u^{2}\\\hline\\&&&{\color{Red}- u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{Red}- u^{2}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Red}-1}\\&&&-\phantom{- u^{2}}&&&\\&&&- u^{2}&+0 u&-1&{\color{Red}-1} \left(u^{2}+1\right) = - u^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Daarom geldt $$$\frac{u^{4}}{u^{2} + 1} = \left(u^{2} - 1\right) + \frac{1}{u^{2} + 1}$$$.