Deel $$$x^{6}$$$ door $$$\left(x^{2} + 1\right)^{2}$$$

Herschrijf de deler: $$$\left(x^{2} + 1\right)^{2} = x^{4} + 2 x^{2} + 1$$$.

Schrijf de opgave in het speciale formaat (ontbrekende termen worden met coëfficiënt nul geschreven):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x^{4}+2 x^{2}+1&x^{6}+0 x^{5}+0 x^{4}+0 x^{3}+0 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

Stap 1

Deel de leidende term van het deeltal door de leidende term van de deler: $$$\frac{x^{6}}{x^{4}} = x^{2}$$$.

Schrijf het berekende resultaat op in het bovenste deel van de tabel.

Vermenigvuldig het met de deler: $$$x^{2} \left(x^{4}+2 x^{2}+1\right) = x^{6}+2 x^{4}+x^{2}$$$.

Trek het deeltal af van het verkregen resultaat: $$$\left(x^{6}\right) - \left(x^{6}+2 x^{4}+x^{2}\right) = - 2 x^{4}- x^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&{\color{Purple}x^{2}}&&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{4}}+2 x^{2}+1&{\color{Purple}x^{6}}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Purple}x^{6}}}{{\color{Magenta}x^{4}}} = {\color{Purple}x^{2}}\\&-\phantom{x^{6}}&&&&&&&\\&x^{6}&+0 x^{5}&+2 x^{4}&+0 x^{3}&+x^{2}&&&{\color{Purple}x^{2}} \left(x^{4}+2 x^{2}+1\right) = x^{6}+2 x^{4}+x^{2}\\\hline\\&&&- 2 x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

Stap 2

Deel de leidende term van de verkregen rest door de leidende term van de deler: $$$\frac{- 2 x^{4}}{x^{4}} = -2$$$.

Schrijf het berekende resultaat op in het bovenste deel van de tabel.

Vermenigvuldig het met de deler: $$$- 2 \left(x^{4}+2 x^{2}+1\right) = - 2 x^{4}- 4 x^{2}-2$$$.

Trek de rest af van het verkregen resultaat: $$$\left(- 2 x^{4}- x^{2}\right) - \left(- 2 x^{4}- 4 x^{2}-2\right) = 3 x^{2}+2$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&x^{2}&{\color{DarkBlue}-2}&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{4}}+2 x^{2}+1&x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{6}}&&&&&&&\\&x^{6}&+0 x^{5}&+2 x^{4}&+0 x^{3}&+x^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{DarkBlue}- 2 x^{4}}&+0 x^{3}&- x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{DarkBlue}- 2 x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{4}}} = {\color{DarkBlue}-2}\\&&&-\phantom{- 2 x^{4}}&&&&&\\&&&- 2 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&-2&{\color{DarkBlue}-2} \left(x^{4}+2 x^{2}+1\right) = - 2 x^{4}- 4 x^{2}-2\\\hline\\&&&&&3 x^{2}&+0 x&+2&\end{array}$$

Aangezien de graad van de rest kleiner is dan de graad van de deler, zijn we klaar.

De resulterende tabel wordt nogmaals weergegeven:

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&{\color{Purple}x^{2}}&{\color{DarkBlue}-2}&&&&&&\text{Aanwijzingen}\\\hline\\{\color{Magenta}x^{4}}+2 x^{2}+1&{\color{Purple}x^{6}}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Purple}x^{6}}}{{\color{Magenta}x^{4}}} = {\color{Purple}x^{2}}\\&-\phantom{x^{6}}&&&&&&&\\&x^{6}&+0 x^{5}&+2 x^{4}&+0 x^{3}&+x^{2}&&&{\color{Purple}x^{2}} \left(x^{4}+2 x^{2}+1\right) = x^{6}+2 x^{4}+x^{2}\\\hline\\&&&{\color{DarkBlue}- 2 x^{4}}&+0 x^{3}&- x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{DarkBlue}- 2 x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{4}}} = {\color{DarkBlue}-2}\\&&&-\phantom{- 2 x^{4}}&&&&&\\&&&- 2 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&-2&{\color{DarkBlue}-2} \left(x^{4}+2 x^{2}+1\right) = - 2 x^{4}- 4 x^{2}-2\\\hline\\&&&&&3 x^{2}&+0 x&+2&\end{array}$$

Daarom geldt $$$\frac{x^{6}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = \left(x^{2} - 2\right) + \frac{3 x^{2} + 2}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$$.