Rekenmachine voor staartdeling van polynomen

Schrijf de opgave in het speciale formaat:

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x-7&x^{3}- 12 x^{2}+38 x-17\end{array}$$$

Stap 1

Deel de leidende term van het deeltal door de leidende term van de deler: $$$\frac{x^{3}}{x} = x^{2}$$$.

Schrijf het berekende resultaat op in het bovenste deel van de tabel.

Vermenigvuldig het met de deler: $$$x^{2} \left(x-7\right) = x^{3}- 7 x^{2}$$$.

Trek het deeltal af van het verkregen resultaat: $$$\left(x^{3}- 12 x^{2}+38 x-17\right) - \left(x^{3}- 7 x^{2}\right) = - 5 x^{2}+38 x-17$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{DarkCyan}x^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-7&{\color{DarkCyan}x^{3}}&- 12 x^{2}&+38 x&-17&\frac{{\color{DarkCyan}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkCyan}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- 7 x^{2}&&&{\color{DarkCyan}x^{2}} \left(x-7\right) = x^{3}- 7 x^{2}\\\hline\\&&- 5 x^{2}&+38 x&-17&\end{array}$$

Stap 2

Deel de leidende term van de verkregen rest door de leidende term van de deler: $$$\frac{- 5 x^{2}}{x} = - 5 x$$$.

Schrijf het berekende resultaat op in het bovenste deel van de tabel.

Vermenigvuldig het met de deler: $$$- 5 x \left(x-7\right) = - 5 x^{2}+35 x$$$.

Trek de rest af van het verkregen resultaat: $$$\left(- 5 x^{2}+38 x-17\right) - \left(- 5 x^{2}+35 x\right) = 3 x-17$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&{\color{Peru}- 5 x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-7&x^{3}&- 12 x^{2}&+38 x&-17&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- 7 x^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{Peru}- 5 x^{2}}&+38 x&-17&\frac{{\color{Peru}- 5 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Peru}- 5 x}\\&&-\phantom{- 5 x^{2}}&&&\\&&- 5 x^{2}&+35 x&&{\color{Peru}- 5 x} \left(x-7\right) = - 5 x^{2}+35 x\\\hline\\&&&3 x&-17&\end{array}$$

Stap 3

Deel de leidende term van de verkregen rest door de leidende term van de deler: $$$\frac{3 x}{x} = 3$$$.

Schrijf het berekende resultaat op in het bovenste deel van de tabel.

Vermenigvuldig het met de deler: $$$3 \left(x-7\right) = 3 x-21$$$.

Trek de rest af van het verkregen resultaat: $$$\left(3 x-17\right) - \left(3 x-21\right) = 4$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&- 5 x&{\color{GoldenRod}+3}&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-7&x^{3}&- 12 x^{2}&+38 x&-17&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- 7 x^{2}&&&\\\hline\\&&- 5 x^{2}&+38 x&-17&\\&&-\phantom{- 5 x^{2}}&&&\\&&- 5 x^{2}&+35 x&&\\\hline\\&&&{\color{GoldenRod}3 x}&-17&\frac{{\color{GoldenRod}3 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{GoldenRod}3}\\&&&-\phantom{3 x}&&\\&&&3 x&-21&{\color{GoldenRod}3} \left(x-7\right) = 3 x-21\\\hline\\&&&&4&\end{array}$$

Aangezien de graad van de rest kleiner is dan de graad van de deler, zijn we klaar.

De resulterende tabel wordt nogmaals weergegeven:

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{DarkCyan}x^{2}}&{\color{Peru}- 5 x}&{\color{GoldenRod}+3}&&\text{Aanwijzingen}\\\hline\\{\color{Magenta}x}-7&{\color{DarkCyan}x^{3}}&- 12 x^{2}&+38 x&-17&\frac{{\color{DarkCyan}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkCyan}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- 7 x^{2}&&&{\color{DarkCyan}x^{2}} \left(x-7\right) = x^{3}- 7 x^{2}\\\hline\\&&{\color{Peru}- 5 x^{2}}&+38 x&-17&\frac{{\color{Peru}- 5 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Peru}- 5 x}\\&&-\phantom{- 5 x^{2}}&&&\\&&- 5 x^{2}&+35 x&&{\color{Peru}- 5 x} \left(x-7\right) = - 5 x^{2}+35 x\\\hline\\&&&{\color{GoldenRod}3 x}&-17&\frac{{\color{GoldenRod}3 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{GoldenRod}3}\\&&&-\phantom{3 x}&&\\&&&3 x&-21&{\color{GoldenRod}3} \left(x-7\right) = 3 x-21\\\hline\\&&&&4&\end{array}$$

Daarom geldt $$$\frac{x^{3} - 12 x^{2} + 38 x - 17}{x - 7} = \left(x^{2} - 5 x + 3\right) + \frac{4}{x - 7}$$$.