$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2\\2 & 6 & 2\\2 & 2 & 2\end{array}\right]$$$의 고윳값과 고유벡터

$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2\\2 & 6 & 2\\2 & 2 & 2\end{array}\right]$$$의 고유값과 고유벡터를 구하시오.

먼저 주어진 행렬 $$$\left[\begin{array}{ccc}2 - \lambda & 2 & 2\\2 & 6 - \lambda & 2\\2 & 2 & 2 - \lambda\end{array}\right]$$$의 대각 원소에서 $$$\lambda$$$를 빼서 새로운 행렬을 만드세요.

얻어진 행렬의 행렬식은 $$$- \lambda \left(\lambda - 8\right) \left(\lambda - 2\right)$$$입니다(풀이 단계는 행렬식 계산기를 참고하세요).

방정식 $$$- \lambda \left(\lambda - 8\right) \left(\lambda - 2\right) = 0$$$을(를) 풀어라.

근은 $$$\lambda_{1} = 8$$$, $$$\lambda_{2} = 2$$$, $$$\lambda_{3} = 0$$$입니다(풀이 단계는 equation solver를 참조하세요).

다음은 고유값입니다.

다음으로 고유벡터를 구하시오.

• $$$\lambda = 8$$$

  $$$\left[\begin{array}{ccc}2 - \lambda & 2 & 2\\2 & 6 - \lambda & 2\\2 & 2 & 2 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-6 & 2 & 2\\2 & -2 & 2\\2 & 2 & -6\end{array}\right]$$$

  이 행렬의 영공간은 $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]\right\}$$$입니다(단계는 영공간 계산기를 참조하세요).

  이것이 고유벡터입니다.

• $$$\lambda = 2$$$

  $$$\left[\begin{array}{ccc}2 - \lambda & 2 & 2\\2 & 6 - \lambda & 2\\2 & 2 & 2 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & 2\\2 & 4 & 2\\2 & 2 & 0\end{array}\right]$$$

  이 행렬의 영공간은 $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$입니다(단계는 영공간 계산기를 참조하세요).

  이것이 고유벡터입니다.

• $$$\lambda = 0$$$

  $$$\left[\begin{array}{ccc}2 - \lambda & 2 & 2\\2 & 6 - \lambda & 2\\2 & 2 & 2 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2\\2 & 6 & 2\\2 & 2 & 2\end{array}\right]$$$

  이 행렬의 영공간은 $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right]\right\}$$$입니다(단계는 영공간 계산기를 참조하세요).

  이것이 고유벡터입니다.

고유값: $$$8$$$A, 중복도: $$$1$$$A, 고유벡터: $$$\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]$$$A.

고유값: $$$2$$$A, 중복도: $$$1$$$A, 고유벡터: $$$\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]$$$A.

고유값: $$$0$$$A, 중복도: $$$1$$$A, 고유벡터: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right]$$$A.