$$$x^{2} \left(1 - x\right)$$$의 도함수

$$$f{\left(x \right)} = x^{2}$$$와 $$$g{\left(x \right)} = 1 - x$$$에 대해 곱의 미분법칙 $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)} g{\left(x \right)}\right) = \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} + f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$을 적용하십시오:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{2} \left(1 - x\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{2}\right) \left(1 - x\right) + x^{2} \frac{d}{dx} \left(1 - x\right)\right)}$$

거듭제곱법칙 $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$을 $$$n = 2$$$에 적용합니다:

$$x^{2} \frac{d}{dx} \left(1 - x\right) + \left(1 - x\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)\right)} = x^{2} \frac{d}{dx} \left(1 - x\right) + \left(1 - x\right) {\color{red}\left(2 x\right)}$$

합/차의 도함수는 도함수들의 합/차이다:

$$x^{2} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1 - x\right)\right)} + 2 x \left(1 - x\right) = x^{2} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right) - \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + 2 x \left(1 - x\right)$$

멱법칙 $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$을 $$$n = 1$$$에 대해 적용하면, 즉 $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:

$$x^{2} \left(- {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(1\right)\right) + 2 x \left(1 - x\right) = x^{2} \left(- {\color{red}\left(1\right)} + \frac{d}{dx} \left(1\right)\right) + 2 x \left(1 - x\right)$$

상수의 도함수는 $$$0$$$입니다:

$$x^{2} \left({\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right)\right)} - 1\right) + 2 x \left(1 - x\right) = x^{2} \left({\color{red}\left(0\right)} - 1\right) + 2 x \left(1 - x\right)$$

간단히 하시오:

$$- x^{2} + 2 x \left(1 - x\right) = x \left(2 - 3 x\right)$$

따라서, $$$\frac{d}{dx} \left(x^{2} \left(1 - x\right)\right) = x \left(2 - 3 x\right)$$$.