타원 $$$7 x^{2} - 2 x y - 22 x + 7 y^{2} - 38 y + 67 = 0$$$의 성질

계산기는 풀이 단계를 보여 주면서 타원 $$$7 x^{2} - 2 x y - 22 x + 7 y^{2} - 38 y + 67 = 0$$$의 성질을 구합니다.

유형:

방정식:

중심:$$$($$$

$$$)$$$

첫 번째 초점:$$$($$$

$$$)$$$

두 번째 초점:$$$($$$

$$$)$$$

첫 번째 꼭짓점:$$$($$$

$$$)$$$

두 번째 꼭짓점:$$$($$$

$$$)$$$

첫 번째 보조꼭짓점:$$$($$$

$$$)$$$

두 번째 부정점:$$$($$$

$$$)$$$

장축의 길이:

장반경(a)의 길이를 알고 있다면, 여기에는 그 값에 $$$2$$$를 곱한 값을 입력하십시오.

단축의 길이:

반단축 (b)의 길이를 알고 있다면, 그 값에 $$$2$$$를 곱한 값을 여기 입력하세요.

이심률:

면적:

첫 번째 준선:

원하는 어떤 꼴로든: $$$y = -6$$$, $$$y = 2 x + 5$$$ 등.

두 번째 준선:

원하는 어떤 꼴로든: $$$x - 3 = 0$$$, $$$- 8 x + 7 y + 1 = 0$$$ 등.

첫 번째 점:$$$($$$

$$$)$$$

두 번째 점:$$$($$$

$$$)$$$

세 번째 점:$$$($$$

$$$)$$$

네 번째 점:$$$($$$

$$$)$$$

장축이 수직(y축과 평행)?

단축이 수평(x축에 평행)인가요?

계산기가 예상대로 작동하지 않았거나 오류를 신고하거나 피드백을 공유하고 싶으시다면 문의해 주세요.

사용자 입력

타원 $$$7 x^{2} - 2 x y - 22 x + 7 y^{2} - 38 y + 67 = 0$$$의 중심, 초점들, 정점들, 부정점들, 장축의 길이, 장반경의 길이, 단축의 길이, 단반경의 길이, 면적, 둘레의 길이, 준점장들, 준점장의 길이(초점폭), 초점매개변수, 이심률, 이심거리(초점거리), 준선들, x절편, y절편, 정의역 및 치역을 구하시오.

풀이

이것은 기울어진 타원입니다: 시계 방향으로 $$$45^{\circ}$$$만큼 회전시키세요.

새 타원은 $$$6 x^{2} - 30 \sqrt{2} x + 8 y^{2} - 8 \sqrt{2} y + 67 = 0$$$이며, 그 성질을 구하세요(단계는 ellipse calculator를 참조하세요).

중심: $$$\left(\frac{5 \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$$.

첫 번째 초점: $$$\left(2 \sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$$.

두 번째 초점: $$$\left(3 \sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$$.

첫 번째 꼭짓점: $$$\left(\frac{3 \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$$.

두 번째 정점: $$$\left(\frac{7 \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$$.

첫 번째 부정점: $$$\left(\frac{5 \sqrt{2}}{2}, \frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\right)$$$.

두 번째 보조 꼭짓점: $$$\left(\frac{5 \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}\right)$$$.

장축의 길이: $$$2 \sqrt{2}$$$.

장반경의 길이: $$$\sqrt{2}$$$.

단축의 길이: $$$\sqrt{6}$$$.

준단축의 길이: $$$\frac{\sqrt{6}}{2}$$$.

면적: $$$\sqrt{3} \pi$$$.

원주: $$$4 \sqrt{2} E\left(\frac{1}{4}\right)$$$.

첫 번째 통경: $$$x = 2 \sqrt{2}$$$.

두 번째 준통경: $$$x = 3 \sqrt{2}$$$.

제1 통경의 양끝점: $$$\left(2 \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$$$, $$$\left(2 \sqrt{2}, \frac{5 \sqrt{2}}{4}\right)$$$.

두 번째 준점선의 양 끝점: $$$\left(3 \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$$$, $$$\left(3 \sqrt{2}, \frac{5 \sqrt{2}}{4}\right)$$$.

준직경의 길이(초점 너비): $$$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$$$.

초점 매개변수: $$$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$$$.

이심률: $$$\frac{1}{2}$$$.

선이심(초점거리): $$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$$.

첫 번째 준선: $$$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$$.

두 번째 준선: $$$x = \frac{9 \sqrt{2}}{2}$$$.

이제 원래대로 회전합니다.

$$$\left(\frac{5 \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$$가 $$$\left(2, 3\right)$$$로 변환됩니다 (단계는 rotation calculator를 참고하세요).

$$$\left(2 \sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$$가 $$$\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right)$$$로 변환됩니다 (단계는 rotation calculator를 참고하세요).

$$$\left(3 \sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$$가 $$$\left(\frac{5}{2}, \frac{7}{2}\right)$$$로 변환됩니다 (단계는 rotation calculator를 참고하세요).

$$$\left(\frac{3 \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$$가 $$$\left(1, 2\right)$$$로 변환됩니다 (단계는 rotation calculator를 참고하세요).

$$$\left(\frac{7 \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$$가 $$$\left(3, 4\right)$$$로 변환됩니다 (단계는 rotation calculator를 참고하세요).

$$$\left(\frac{5 \sqrt{2}}{2}, \frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\right)$$$가 $$$\left(\frac{\sqrt{3} + 4}{2}, 3 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$$로 변환됩니다 (단계는 rotation calculator를 참고하세요).

$$$\left(\frac{5 \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}\right)$$$가 $$$\left(2 - \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3} + 6}{2}\right)$$$로 변환됩니다 (단계는 rotation calculator를 참고하세요).

$$$x = 2 \sqrt{2}$$$는 $$$\frac{\sqrt{2} \left(x + y\right)}{2} = 2 \sqrt{2}$$$ 또는 $$$y = 4 - x$$$가 된다.

$$$x = 3 \sqrt{2}$$$는 $$$\frac{\sqrt{2} \left(x + y\right)}{2} = 3 \sqrt{2}$$$ 또는 $$$y = 6 - x$$$가 된다.

$$$\left(2 \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$$$가 $$$\left(\frac{9}{4}, \frac{7}{4}\right)$$$로 변환됩니다 (단계는 rotation calculator를 참고하세요).

$$$\left(2 \sqrt{2}, \frac{5 \sqrt{2}}{4}\right)$$$가 $$$\left(\frac{3}{4}, \frac{13}{4}\right)$$$로 변환됩니다 (단계는 rotation calculator를 참고하세요).

$$$\left(3 \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$$$가 $$$\left(\frac{13}{4}, \frac{11}{4}\right)$$$로 변환됩니다 (단계는 rotation calculator를 참고하세요).

$$$\left(3 \sqrt{2}, \frac{5 \sqrt{2}}{4}\right)$$$가 $$$\left(\frac{7}{4}, \frac{17}{4}\right)$$$로 변환됩니다 (단계는 rotation calculator를 참고하세요).

$$$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$$는 $$$\frac{\sqrt{2} \left(x + y\right)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$$ 또는 $$$y = 1 - x$$$가 된다.

$$$x = \frac{9 \sqrt{2}}{2}$$$는 $$$\frac{\sqrt{2} \left(x + y\right)}{2} = \frac{9 \sqrt{2}}{2}$$$ 또는 $$$y = 9 - x$$$가 된다.

x절편은 방정식에 $$$y = 0$$$를 대입하고 $$$x$$$에 대해 풀면 구할 수 있습니다(단계는 intercepts calculator를 참고하세요).

실수해가 없으므로 x절편은 없습니다.

y-절편은 방정식에서 $$$x = 0$$$를 0으로 두고 $$$y$$$에 대해 풀어 구할 수 있습니다(단계는 intercepts calculator 참고).

실수해가 없으므로 y-절편이 없습니다.

정답

일반형/방정식: $$$7 x^{2} - 2 x y - 22 x + 7 y^{2} - 38 y + 67 = 0$$$A.

첫 번째 초점-준선 형식/방정식: $$$\left(x - \frac{3}{2}\right)^{2} + \left(y - \frac{5}{2}\right)^{2} = \frac{\left(x + y - 1\right)^{2}}{8}$$$A.

두 번째 초점-준선 형태/방정식: $$$\left(x - \frac{5}{2}\right)^{2} + \left(y - \frac{7}{2}\right)^{2} = \frac{\left(x + y - 9\right)^{2}}{8}$$$A.

그래프: 그래프 계산기를 참고하세요.

중심: $$$\left(2, 3\right)$$$A.

첫 번째 초점: $$$\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right) = \left(1.5, 2.5\right)$$$A.

두 번째 초점: $$$\left(\frac{5}{2}, \frac{7}{2}\right) = \left(2.5, 3.5\right)$$$A.

첫 번째 꼭짓점: $$$\left(1, 2\right)$$$A.

두 번째 정점: $$$\left(3, 4\right)$$$A.

첫 번째 부정점: $$$\left(\frac{\sqrt{3} + 4}{2}, 3 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\approx \left(2.866025403784439, 2.133974596215561\right).$$$A

두 번째 보조 꼭짓점: $$$\left(2 - \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3} + 6}{2}\right)\approx \left(1.133974596215561, 3.866025403784439\right).$$$A

장축의 길이: $$$2 \sqrt{2}\approx 2.82842712474619$$$A.

장반경의 길이: $$$\sqrt{2}\approx 1.414213562373095$$$A.

단축의 길이: $$$\sqrt{6}\approx 2.449489742783178$$$A.

준단축의 길이: $$$\frac{\sqrt{6}}{2}\approx 1.224744871391589$$$A.

면적: $$$\sqrt{3} \pi\approx 5.441398092702654$$$A.

원주: $$$4 \sqrt{2} E\left(\frac{1}{4}\right)\approx 8.301219834871215$$$A.

첫 번째 통경: $$$y = 4 - x$$$A.

두 번째 준통경: $$$y = 6 - x$$$A.

제1 통경의 양끝점: $$$\left(\frac{9}{4}, \frac{7}{4}\right) = \left(2.25, 1.75\right)$$$, $$$\left(\frac{3}{4}, \frac{13}{4}\right) = \left(0.75, 3.25\right)$$$A.

두 번째 준점선의 양 끝점: $$$\left(\frac{13}{4}, \frac{11}{4}\right) = \left(3.25, 2.75\right)$$$, $$$\left(\frac{7}{4}, \frac{17}{4}\right) = \left(1.75, 4.25\right)$$$A.

준직경의 길이(초점 너비): $$$\frac{3 \sqrt{2}}{2}\approx 2.121320343559643$$$A.

초점 매개변수: $$$\frac{3 \sqrt{2}}{2}\approx 2.121320343559643$$$A.

이심률: $$$\frac{1}{2} = 0.5$$$A.

선이심(초점거리): $$$\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707106781186548$$$A.

첫 번째 준선: $$$y = 1 - x$$$A.

두 번째 준선: $$$y = 9 - x$$$A.

x-절편: x절편이 없음.

y절편: y절편 없음.

정의역: $$$\left[2 - \frac{\sqrt{7}}{2}, \frac{\sqrt{7} + 4}{2}\right]\approx \left[0.677124344467705, 3.322875655532295\right].$$$A

치역: $$$\left[3 - \frac{\sqrt{7}}{2}, \frac{\sqrt{7} + 6}{2}\right]\approx \left[1.677124344467705, 4.322875655532295\right].$$$A