$$$\left[\begin{array}{cccc}\frac{5}{2} & 120 & \frac{6}{5} & \frac{37}{10}\\5 & 240 & \frac{12}{5} & \frac{37}{5}\\3 & 180 & \frac{9}{5} & \frac{11}{2}\end{array}\right]$$$ の簡約行階段形

行列$$$\left[\begin{array}{cccc}\frac{5}{2} & 120 & \frac{6}{5} & \frac{37}{10}\\5 & 240 & \frac{12}{5} & \frac{37}{5}\\3 & 180 & \frac{9}{5} & \frac{11}{2}\end{array}\right]$$$の簡約行階段形を求めよ。

第$$$1$$$行を$$$\frac{2}{5}$$$倍する: $$$R_{1} = \frac{2 R_{1}}{5}$$$.

$$$\left[\begin{array}{cccc}1 & 48 & \frac{12}{25} & \frac{37}{25}\\5 & 240 & \frac{12}{5} & \frac{37}{5}\\3 & 180 & \frac{9}{5} & \frac{11}{2}\end{array}\right]$$$

$$$2$$$行から$$$1$$$行の$$$5$$$倍を引く: $$$R_{2} = R_{2} - 5 R_{1}$$$

$$$\left[\begin{array}{cccc}1 & 48 & \frac{12}{25} & \frac{37}{25}\\0 & 0 & 0 & 0\\3 & 180 & \frac{9}{5} & \frac{11}{2}\end{array}\right]$$$

$$$3$$$行から$$$1$$$行の$$$3$$$倍を引く: $$$R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$$$

$$$\left[\begin{array}{cccc}1 & 48 & \frac{12}{25} & \frac{37}{25}\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 36 & \frac{9}{25} & \frac{53}{50}\end{array}\right]$$$

行 $$$2$$$、列 $$$2$$$ の要素（ピボット要素）が $$$0$$$ に等しいため、行を交換する必要があります。

列 $$$2$$$ において、主元の下にある最初の非零要素を見つける。

最初の非ゼロ要素は第$$$3$$$行にあります。

第$$$2$$$行と第$$$3$$$行を入れ替える:

$$$\left[\begin{array}{cccc}1 & 48 & \frac{12}{25} & \frac{37}{25}\\0 & 36 & \frac{9}{25} & \frac{53}{50}\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]$$$

第$$$2$$$行を$$$36$$$で割る: $$$R_{2} = \frac{R_{2}}{36}$$$。

$$$\left[\begin{array}{cccc}1 & 48 & \frac{12}{25} & \frac{37}{25}\\0 & 1 & \frac{1}{100} & \frac{53}{1800}\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]$$$

$$$1$$$行から$$$2$$$行の$$$48$$$倍を引く: $$$R_{1} = R_{1} - 48 R_{2}$$$

$$$\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & \frac{1}{15}\\0 & 1 & \frac{1}{100} & \frac{53}{1800}\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]$$$

行 $$$3$$$、列 $$$3$$$ の要素（ピボット要素）が $$$0$$$ に等しいため、行を交換する必要があります。

列 $$$3$$$ において、主元の下にある最初の非零要素を見つける。

ご覧のとおり、そのような成分はありません。次の列に進んでください。

行 $$$3$$$、列 $$$4$$$ の要素（ピボット要素）が $$$0$$$ に等しいため、行を交換する必要があります。

列 $$$4$$$ において、主元の下にある最初の非零要素を見つける。

ご覧のとおり、そのようなエントリはありません。

簡約行階段形は$$$\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & \frac{1}{15}\\0 & 1 & \frac{1}{100} & \frac{53}{1800}\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0.066666666666667\\0 & 1 & 0.01 & 0.029444444444444\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]$$$Aです。