$$$\left[\begin{array}{cccc}\frac{5}{2} & 120 & \frac{6}{5} & \frac{37}{10}\\5 & 240 & \frac{12}{5} & \frac{37}{5}\\3 & 180 & \frac{9}{5} & \frac{11}{2}\end{array}\right]$$$の零空間
入力内容
$$$\left[\begin{array}{cccc}\frac{5}{2} & 120 & \frac{6}{5} & \frac{37}{10}\\5 & 240 & \frac{12}{5} & \frac{37}{5}\\3 & 180 & \frac{9}{5} & \frac{11}{2}\end{array}\right]$$$ の零空間を求めよ。
解答
行列の簡約化行階段形は $$$\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & \frac{1}{15}\\0 & 1 & \frac{1}{100} & \frac{53}{1800}\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]$$$ です（手順は rref calculator を参照）。
零空間を求めるには、行列方程式 $$$\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & \frac{1}{15}\\0 & 1 & \frac{1}{100} & \frac{53}{1800}\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right]$$$ を解きます。
$$$x_{3} = t$$$, $$$x_{4} = s$$$ とすると、$$$x_{1} = - \frac{s}{15}$$$, $$$x_{2} = - \frac{53 s}{1800} - \frac{t}{100}$$$ となる。
したがって、$$$\mathbf{\vec{x}} = \left[\begin{array}{c}- \frac{s}{15}\\- \frac{53 s}{1800} - \frac{t}{100}\\t\\s\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\- \frac{1}{100}\\1\\0\end{array}\right] t + \left[\begin{array}{c}- \frac{1}{15}\\- \frac{53}{1800}\\0\\1\end{array}\right] s$$$。
これは零空間です。
行列の零化数は、零空間の基底の次元である。
したがって、行列の零化数は $$$2$$$ です。
解答
零空間の基底は $$$\left\{\left[\begin{array}{c}0\\- \frac{1}{100}\\1\\0\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}- \frac{1}{15}\\- \frac{53}{1800}\\0\\1\end{array}\right]\right\}\approx \left\{\left[\begin{array}{c}0\\-0.01\\1\\0\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}-0.066666666666667\\-0.029444444444444\\0\\1\end{array}\right]\right\}$$$A です。
行列の欠損数は$$$2$$$Aです。