$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2\\2 & 6 & 2\\2 & 2 & 2\end{array}\right]$$$ の固有値と固有ベクトル

$$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2\\2 & 6 & 2\\2 & 2 & 2\end{array}\right]$$$ の固有値と固有ベクトルを求めよ。

まず、与えられた行列 $$$\left[\begin{array}{ccc}2 - \lambda & 2 & 2\\2 & 6 - \lambda & 2\\2 & 2 & 2 - \lambda\end{array}\right]$$$ の対角成分から $$$\lambda$$$ を差し引いて新しい行列を作成することから始めます。

得られた行列の行列式は $$$- \lambda \left(\lambda - 8\right) \left(\lambda - 2\right)$$$ です（手順は 行列式計算機 を参照）。

方程式 $$$- \lambda \left(\lambda - 8\right) \left(\lambda - 2\right) = 0$$$ を解いてください。

根は $$$\lambda_{1} = 8$$$, $$$\lambda_{2} = 2$$$, $$$\lambda_{3} = 0$$$ です（手順については equation solver を参照してください）。

これらが固有値です。

次に、固有ベクトルを求めます。

• $$$\lambda = 8$$$

  $$$\left[\begin{array}{ccc}2 - \lambda & 2 & 2\\2 & 6 - \lambda & 2\\2 & 2 & 2 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-6 & 2 & 2\\2 & -2 & 2\\2 & 2 & -6\end{array}\right]$$$

  この行列の零空間は $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]\right\}$$$ です（手順については 零空間計算機 を参照してください）。

  これは固有ベクトルです。

• $$$\lambda = 2$$$

  $$$\left[\begin{array}{ccc}2 - \lambda & 2 & 2\\2 & 6 - \lambda & 2\\2 & 2 & 2 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & 2\\2 & 4 & 2\\2 & 2 & 0\end{array}\right]$$$

  この行列の零空間は $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ です（手順については 零空間計算機 を参照してください）。

  これは固有ベクトルです。

• $$$\lambda = 0$$$

  $$$\left[\begin{array}{ccc}2 - \lambda & 2 & 2\\2 & 6 - \lambda & 2\\2 & 2 & 2 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2\\2 & 6 & 2\\2 & 2 & 2\end{array}\right]$$$

  この行列の零空間は $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right]\right\}$$$ です（手順については 零空間計算機 を参照してください）。

  これは固有ベクトルです。

固有値: $$$8$$$A、重複度: $$$1$$$A、固有ベクトル: $$$\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]$$$A。

固有値: $$$2$$$A、重複度: $$$1$$$A、固有ベクトル: $$$\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]$$$A。

固有値: $$$0$$$A、重複度: $$$1$$$A、固有ベクトル: $$$\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right]$$$A。