$$$\left\langle 1, 2 x, 0\right\rangle$$$ と $$$\left\langle 0, 2, 0\right\rangle$$$ の外積

$$$\left\langle 1, 2 x, 0\right\rangle\times \left\langle 0, 2, 0\right\rangle$$$を計算せよ。

外積を求めるには、第1行に単位ベクトル、第2行に第1のベクトル、第3行に第2のベクトルを並べた形式的な行列式を作ります: $$$\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}}\\1 & 2 x & 0\\0 & 2 & 0\end{array}\right|$$$

では、第一行に沿って余因子展開します（行列式の求め方の手順は determinant calculator を参照してください）：

$$$\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}}\\1 & 2 x & 0\\0 & 2 & 0\end{array}\right| = \left|\begin{array}{cc}2 x & 0\\2 & 0\end{array}\right| \mathbf{\vec{i}} - \left|\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right| \mathbf{\vec{j}} + \left|\begin{array}{cc}1 & 2 x\\0 & 2\end{array}\right| \mathbf{\vec{k}} = \left(\left(2 x\right)\cdot \left(0\right) - \left(0\right)\cdot \left(2\right)\right) \mathbf{\vec{i}} - \left(\left(1\right)\cdot \left(0\right) - \left(0\right)\cdot \left(0\right)\right) \mathbf{\vec{j}} + \left(\left(1\right)\cdot \left(2\right) - \left(2 x\right)\cdot \left(0\right)\right) \mathbf{\vec{k}} = 0 + 0 + 2 \mathbf{\vec{k}}$$$

したがって、$$$\left\langle 1, 2 x, 0\right\rangle\times \left\langle 0, 2, 0\right\rangle = \left\langle 0, 0, 2\right\rangle$$$。

$$$\left\langle 1, 2 x, 0\right\rangle\times \left\langle 0, 2, 0\right\rangle = \left\langle 0, 0, 2\right\rangle$$$A