捩率計算機

$$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle t^{2}, t^{3}, t\right\rangle$$$のねじれ率を求めよ。

$$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)}$$$ の導関数を求める: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle 2 t, 3 t^{2}, 1\right\rangle$$$（手順は derivative calculator を参照）。

$$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}$$$ の導関数を求める: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 2, 6 t, 0\right\rangle$$$（手順は derivative calculator を参照）。

外積を求めよ: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle - 6 t, 2, 6 t^{2}\right\rangle$$$（手順は cross product calculator を参照してください）。

$$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}$$$ の大きさを求めよ: $$$\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = 2 \sqrt{9 t^{4} + 9 t^{2} + 1}$$$（手順は 大きさ計算機 を参照）。

$$$\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}$$$ の導関数を求める: $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 0, 6, 0\right\rangle$$$（手順は derivative calculator を参照）。

内積を求めよ: $$$\left(\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right)\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime\prime}\left(t\right)} = 12$$$ (手順は 内積計算機 を参照).

最後に、捩率は$$$\tau\left(t\right) = \frac{\left(\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right)\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime\prime}\left(t\right)}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert}^{2}} = \frac{3}{9 t^{4} + 9 t^{2} + 1}$$$です。

ねじれ率は$$$\tau\left(t\right) = \frac{3}{9 t^{4} + 9 t^{2} + 1}$$$Aです。