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接平面計算機
接平面をステップバイステップで求める
この計算機は、与えられた点において、陽関数および陰関数で表される曲線の接平面を、手順を示しながら求めようとします。
入力内容
点 $$$\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)$$$ における $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 14$$$ の接平面を求めよ。
解答
この関数は$$$F{\left(x,y,z \right)} = 0$$$の形で表すことができ、ここで$$$F{\left(x,y,z \right)} = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14$$$である。
偏導関数を求めよ。
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 x$$$（手順については、partial derivative calculator を参照してください）。
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 y$$$（手順については、partial derivative calculator を参照してください）。
$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial z} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 z$$$（手順については、partial derivative calculator を参照してください）。
与えられた点で導関数の値を求めよ。
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 x\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 2$$$
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 y\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 6$$$
$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 z\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 4$$$
接平面の方程式は$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(x - x_{0}\right) + \frac{\partial}{\partial y} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(y - y_{0}\right) + \frac{\partial}{\partial z} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(z - z_{0}\right) = 0$$$です。
この場合、$$$2 \left(x - 1\right) + 6 \left(y - 3\right) + 4 \left(z - 2\right) = 0$$$ となります。
これは$$$2 x + 6 y + 4 z = 28$$$と書き換えることができます。
または、より簡単に言えば：$$$z = - \frac{x}{2} - \frac{3 y}{2} + 7$$$。
解答
接平面の方程式は$$$z = - \frac{x}{2} - \frac{3 y}{2} + 7 = - 0.5 x - 1.5 y + 7$$$Aです。