$$$\left\{x = 6 u + v, y = 9 u - v\right\}$$$ のヤコビ行列とその行列式
入力内容
$$$\left\{x = 6 u + v, y = 9 u - v\right\}$$$ のヤコビ行列を計算してください。
解答
ヤコビ行列は次のように定義されます: $$$J{\left(x,y \right)}\left(u, v\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right].$$$
この場合、$$$J{\left(x,y \right)}\left(u, v\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial}{\partial u} \left(6 u + v\right) & \frac{\partial}{\partial v} \left(6 u + v\right)\\\frac{\partial}{\partial u} \left(9 u - v\right) & \frac{\partial}{\partial v} \left(9 u - v\right)\end{array}\right]$$$ となります。
導関数を求めよ（手順は derivative calculator を参照）：$$$J{\left(x,y \right)}\left(u, v\right) = \left[\begin{array}{cc}6 & 1\\9 & -1\end{array}\right]$$$。
ヤコビ行列式はヤコビ行列の行列式である: $$$\left|\begin{array}{cc}6 & 1\\9 & -1\end{array}\right| = -15$$$（手順は行列式計算機を参照）。
解答
ヤコビ行列は$$$\left[\begin{array}{cc}6 & 1\\9 & -1\end{array}\right]$$$Aです。
ヤコビ行列式は$$$-15$$$Aです。