$$$\left\{x = 3 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)}, y = e^{4 r} \cos{\left(3 \theta \right)}\right\}$$$ のヤコビ行列とその行列式
入力内容
$$$\left\{x = 3 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)}, y = e^{4 r} \cos{\left(3 \theta \right)}\right\}$$$ のヤコビ行列を計算してください。
解答
ヤコビ行列は次のように定義されます: $$$J{\left(x,y \right)}\left(r, \theta\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta}\\\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}\end{array}\right].$$$
この場合、$$$J{\left(x,y \right)}\left(r, \theta\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial}{\partial r} \left(3 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)}\right) & \frac{\partial}{\partial \theta} \left(3 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)}\right)\\\frac{\partial}{\partial r} \left(e^{4 r} \cos{\left(3 \theta \right)}\right) & \frac{\partial}{\partial \theta} \left(e^{4 r} \cos{\left(3 \theta \right)}\right)\end{array}\right]$$$ となります。
導関数を求めよ（手順は derivative calculator を参照）：$$$J{\left(x,y \right)}\left(r, \theta\right) = \left[\begin{array}{cc}- 12 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)} & 9 e^{- 4 r} \cos{\left(3 \theta \right)}\\4 e^{4 r} \cos{\left(3 \theta \right)} & - 3 e^{4 r} \sin{\left(3 \theta \right)}\end{array}\right]$$$。
ヤコビ行列式はヤコビ行列の行列式である: $$$\left|\begin{array}{cc}- 12 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)} & 9 e^{- 4 r} \cos{\left(3 \theta \right)}\\4 e^{4 r} \cos{\left(3 \theta \right)} & - 3 e^{4 r} \sin{\left(3 \theta \right)}\end{array}\right| = - 36 \cos{\left(6 \theta \right)}$$$（手順は行列式計算機を参照）。
解答
ヤコビ行列は$$$\left[\begin{array}{cc}- 12 e^{- 4 r} \sin{\left(3 \theta \right)} & 9 e^{- 4 r} \cos{\left(3 \theta \right)}\\4 e^{4 r} \cos{\left(3 \theta \right)} & - 3 e^{4 r} \sin{\left(3 \theta \right)}\end{array}\right]$$$Aです。
ヤコビ行列式は$$$- 36 \cos{\left(6 \theta \right)}$$$Aです。