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ヤコビ行列計算機

ステップバイステップでヤコビ行列を計算する

この計算機は、関数の組のヤコビ行列と（可能であれば）ヤコビ行列式を、手順付きで求めます。

カンマ区切り。
自動検出する場合は空欄のままにするか、x,y のように変数をカンマ区切りで指定してください。

計算機が計算を実行できなかった場合、エラーを見つけた場合、またはご提案・フィードバックがある場合は、お問い合わせください。

入力内容

$$$\left\{x = r \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}, y = r \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\right\}$$$ のヤコビ行列を計算してください。

解答

ヤコビ行列は次のように定義されます: $$$J{\left(x,y \right)}\left(\eta, r\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial \eta} & \frac{\partial x}{\partial r}\\\frac{\partial y}{\partial \eta} & \frac{\partial y}{\partial r}\end{array}\right].$$$

この場合、$$$J{\left(x,y \right)}\left(\eta, r\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial}{\partial \eta} \left(r \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\right) & \frac{\partial}{\partial r} \left(r \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\right)\\\frac{\partial}{\partial \eta} \left(r \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\right) & \frac{\partial}{\partial r} \left(r \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\right)\end{array}\right]$$$ となります。

導関数を求めよ（手順は derivative calculator を参照）：$$$J{\left(x,y \right)}\left(\eta, r\right) = \left[\begin{array}{cc}- r \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)} \operatorname{sech}^{2}{\left(\eta \right)} & \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\\r \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)} \operatorname{sech}^{2}{\left(\eta \right)} & \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\end{array}\right]$$$。

ヤコビ行列式はヤコビ行列の行列式である: $$$\left|\begin{array}{cc}- r \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)} \operatorname{sech}^{2}{\left(\eta \right)} & \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\\r \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)} \operatorname{sech}^{2}{\left(\eta \right)} & \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\end{array}\right| = - r \operatorname{sech}^{2}{\left(\eta \right)}$$$（手順は行列式計算機を参照）。

解答

ヤコビ行列は$$$\left[\begin{array}{cc}- r \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)} \operatorname{sech}^{2}{\left(\eta \right)} & \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\\r \cos{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)} \operatorname{sech}^{2}{\left(\eta \right)} & \sin{\left(\tanh{\left(\eta \right)} \right)}\end{array}\right]$$$Aです。

ヤコビ行列式は$$$- r \operatorname{sech}^{2}{\left(\eta \right)}$$$Aです。