$$$\left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle$$$ の発散

$$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle$$$を計算せよ。

定義より、$$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle = \nabla\cdot \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle$$$、または同値に $$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle = \left\langle \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right\rangle\cdot \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle$$$ であり、ここで $$$\cdot$$$ は 内積演算子 である。

したがって、$$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle = \frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} y\right) + \frac{\partial}{\partial y} \left(x y z\right) + \frac{\partial}{\partial z} \left(y z^{2}\right)$$$。

成分 1 の $$$x$$$ に関する偏導関数を求めよ: $$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} y\right) = 2 x y$$$（手順は 導関数計算機 を参照）。

成分 2 の $$$y$$$ に関する偏導関数を求めよ: $$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x y z\right) = x z$$$（手順は 導関数計算機 を参照）。

成分 3 の $$$z$$$ に関する偏導関数を求めよ: $$$\frac{\partial}{\partial z} \left(y z^{2}\right) = 2 y z$$$（手順は 導関数計算機 を参照）。

ここで、上の式の和を取れば発散が得られます: $$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle = 2 x y + x z + 2 y z$$$

$$$\operatorname{div} \left\langle x^{2} y, x y z, y z^{2}\right\rangle = 2 x y + x z + 2 y z$$$A