発散計算機

$$$\operatorname{div} \left\langle \sin{\left(x y \right)}, \cos{\left(x y \right)}, e^{z}\right\rangle$$$を計算せよ。

定義より、$$$\operatorname{div} \left\langle \sin{\left(x y \right)}, \cos{\left(x y \right)}, e^{z}\right\rangle = \nabla\cdot \left\langle \sin{\left(x y \right)}, \cos{\left(x y \right)}, e^{z}\right\rangle$$$、または同値に $$$\operatorname{div} \left\langle \sin{\left(x y \right)}, \cos{\left(x y \right)}, e^{z}\right\rangle = \left\langle \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right\rangle\cdot \left\langle \sin{\left(x y \right)}, \cos{\left(x y \right)}, e^{z}\right\rangle$$$ であり、ここで $$$\cdot$$$ は 内積演算子 である。

したがって、$$$\operatorname{div} \left\langle \sin{\left(x y \right)}, \cos{\left(x y \right)}, e^{z}\right\rangle = \frac{\partial}{\partial x} \left(\sin{\left(x y \right)}\right) + \frac{\partial}{\partial y} \left(\cos{\left(x y \right)}\right) + \frac{\partial}{\partial z} \left(e^{z}\right)$$$。

成分 1 の $$$x$$$ に関する偏導関数を求めよ: $$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\sin{\left(x y \right)}\right) = y \cos{\left(x y \right)}$$$（手順は 導関数計算機 を参照）。

成分 2 の $$$y$$$ に関する偏導関数を求めよ: $$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\cos{\left(x y \right)}\right) = - x \sin{\left(x y \right)}$$$（手順は 導関数計算機 を参照）。

成分 3 の $$$z$$$ に関する偏導関数を求めよ: $$$\frac{\partial}{\partial z} \left(e^{z}\right) = e^{z}$$$（手順は 導関数計算機 を参照）。

ここで、上の式の和を取れば発散が得られます: $$$\operatorname{div} \left\langle \sin{\left(x y \right)}, \cos{\left(x y \right)}, e^{z}\right\rangle = - x \sin{\left(x y \right)} + y \cos{\left(x y \right)} + e^{z}$$$

$$$\operatorname{div} \left\langle \sin{\left(x y \right)}, \cos{\left(x y \right)}, e^{z}\right\rangle = - x \sin{\left(x y \right)} + y \cos{\left(x y \right)} + e^{z}$$$A