$$$1 - 2 e^{x}$$$の積分

$$$\int \left(1 - 2 e^{x}\right)\, dx$$$ を求めよ。

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(1 - 2 e^{x}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{1 d x} - \int{2 e^{x} d x}\right)}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dx = c x$$$ を適用する:

$$- \int{2 e^{x} d x} + {\color{red}{\int{1 d x}}} = - \int{2 e^{x} d x} + {\color{red}{x}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=2$$$ と $$$f{\left(x \right)} = e^{x}$$$ に対して適用する:

$$x - {\color{red}{\int{2 e^{x} d x}}} = x - {\color{red}{\left(2 \int{e^{x} d x}\right)}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{x} d x} = e^{x}$$$です:

$$x - 2 {\color{red}{\int{e^{x} d x}}} = x - 2 {\color{red}{e^{x}}}$$

したがって、

$$\int{\left(1 - 2 e^{x}\right)d x} = x - 2 e^{x}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(1 - 2 e^{x}\right)d x} = x - 2 e^{x}+C$$

$$$\int \left(1 - 2 e^{x}\right)\, dx = \left(x - 2 e^{x}\right) + C$$$A