楕円$$$7 x^{2} - 2 x y - 22 x + 7 y^{2} - 38 y + 67 = 0$$$の性質
入力内容
楕円 $$$7 x^{2} - 2 x y - 22 x + 7 y^{2} - 38 y + 67 = 0$$$ の中心、焦点、頂点、共役頂点、長軸の長さ、長半軸の長さ、短軸の長さ、短半軸の長さ、面積、周長、準弦、準弦の長さ（焦点幅）、準半径、離心率、線離心率（焦点距離）、準線、x切片、y切片、定義域、および値域を求めよ。
解答
これは傾いた楕円です：$$$45^{\circ}$$$だけ時計回りに回転させてください。
新しい楕円は$$$6 x^{2} - 30 \sqrt{2} x + 8 y^{2} - 8 \sqrt{2} y + 67 = 0$$$であり、その性質を求めよ（手順は楕円計算機を参照）。
中心: $$$\left(\frac{5 \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$$.
第一焦点: $$$\left(2 \sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$$.
第二焦点: $$$\left(3 \sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$$.
最初の頂点: $$$\left(\frac{3 \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$$。
第2の頂点: $$$\left(\frac{7 \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$$.
第1副頂点：$$$\left(\frac{5 \sqrt{2}}{2}, \frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\right)$$$。
第2の副頂点：$$$\left(\frac{5 \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}\right)$$$。
長軸の長さ: $$$2 \sqrt{2}$$$.
長半径の長さ: $$$\sqrt{2}$$$.
短軸の長さ: $$$\sqrt{6}$$$.
短半径の長さ: $$$\frac{\sqrt{6}}{2}$$$.
面積：$$$\sqrt{3} \pi$$$。
円周：$$$4 \sqrt{2} E\left(\frac{1}{4}\right)$$$。
第1準弦: $$$x = 2 \sqrt{2}$$$.
第二準弦: $$$x = 3 \sqrt{2}$$$.
第1の通径の端点: $$$\left(2 \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$$$, $$$\left(2 \sqrt{2}, \frac{5 \sqrt{2}}{4}\right)$$$。
第2通径の両端点: $$$\left(3 \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$$$, $$$\left(3 \sqrt{2}, \frac{5 \sqrt{2}}{4}\right)$$$.
準通径（焦点幅）の長さ: $$$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$$$
準通径: $$$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$$$.
離心率：$$$\frac{1}{2}$$$。
線離心率（焦点距離）: $$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$$.
第1の準線: $$$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$$.
第2の準線: $$$x = \frac{9 \sqrt{2}}{2}$$$.
では、回転を元に戻します。
$$$\left(\frac{5 \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$$ は $$$\left(2, 3\right)$$$ に変換されます（手順は rotation calculator を参照）。
$$$\left(2 \sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$$ は $$$\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right)$$$ に変換されます（手順は rotation calculator を参照）。
$$$\left(3 \sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$$ は $$$\left(\frac{5}{2}, \frac{7}{2}\right)$$$ に変換されます（手順は rotation calculator を参照）。
$$$\left(\frac{3 \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$$ は $$$\left(1, 2\right)$$$ に変換されます（手順は rotation calculator を参照）。
$$$\left(\frac{7 \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$$ は $$$\left(3, 4\right)$$$ に変換されます（手順は rotation calculator を参照）。
$$$\left(\frac{5 \sqrt{2}}{2}, \frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\right)$$$ は $$$\left(\frac{\sqrt{3} + 4}{2}, 3 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$$ に変換されます（手順は rotation calculator を参照）。
$$$\left(\frac{5 \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}\right)$$$ は $$$\left(2 - \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3} + 6}{2}\right)$$$ に変換されます（手順は rotation calculator を参照）。
$$$x = 2 \sqrt{2}$$$ は $$$\frac{\sqrt{2} \left(x + y\right)}{2} = 2 \sqrt{2}$$$ または $$$y = 4 - x$$$ となる。
$$$x = 3 \sqrt{2}$$$ は $$$\frac{\sqrt{2} \left(x + y\right)}{2} = 3 \sqrt{2}$$$ または $$$y = 6 - x$$$ となる。
$$$\left(2 \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$$$ は $$$\left(\frac{9}{4}, \frac{7}{4}\right)$$$ に変換されます（手順は rotation calculator を参照）。
$$$\left(2 \sqrt{2}, \frac{5 \sqrt{2}}{4}\right)$$$ は $$$\left(\frac{3}{4}, \frac{13}{4}\right)$$$ に変換されます（手順は rotation calculator を参照）。
$$$\left(3 \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$$$ は $$$\left(\frac{13}{4}, \frac{11}{4}\right)$$$ に変換されます（手順は rotation calculator を参照）。
$$$\left(3 \sqrt{2}, \frac{5 \sqrt{2}}{4}\right)$$$ は $$$\left(\frac{7}{4}, \frac{17}{4}\right)$$$ に変換されます（手順は rotation calculator を参照）。
$$$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$$ は $$$\frac{\sqrt{2} \left(x + y\right)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$$ または $$$y = 1 - x$$$ となる。
$$$x = \frac{9 \sqrt{2}}{2}$$$ は $$$\frac{\sqrt{2} \left(x + y\right)}{2} = \frac{9 \sqrt{2}}{2}$$$ または $$$y = 9 - x$$$ となる。
x切片は、方程式で$$$y = 0$$$とおき、$$$x$$$について解くことで求められます（手順はintercepts calculatorを参照）。
実数解が存在しないため、x切片は存在しません。
y切片は、方程式で$$$x = 0$$$とおき、$$$y$$$について解くことで求められます（手順はintercepts calculatorを参照してください）。
実数解がないため、y切片は存在しません。
解答
一般形/方程式: $$$7 x^{2} - 2 x y - 22 x + 7 y^{2} - 38 y + 67 = 0$$$A.
第1の焦点・準線の形/方程式: $$$\left(x - \frac{3}{2}\right)^{2} + \left(y - \frac{5}{2}\right)^{2} = \frac{\left(x + y - 1\right)^{2}}{8}$$$A
第2の焦点-準線の形/方程式: $$$\left(x - \frac{5}{2}\right)^{2} + \left(y - \frac{7}{2}\right)^{2} = \frac{\left(x + y - 9\right)^{2}}{8}$$$A.
グラフ：graphing calculatorを参照してください。
中心: $$$\left(2, 3\right)$$$A.
第一焦点: $$$\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right) = \left(1.5, 2.5\right)$$$A.
第二焦点: $$$\left(\frac{5}{2}, \frac{7}{2}\right) = \left(2.5, 3.5\right)$$$A.
最初の頂点: $$$\left(1, 2\right)$$$A。
第2の頂点: $$$\left(3, 4\right)$$$A.
第1副頂点：$$$\left(\frac{\sqrt{3} + 4}{2}, 3 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\approx \left(2.866025403784439, 2.133974596215561\right)$$$A。
第2の副頂点：$$$\left(2 - \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3} + 6}{2}\right)\approx \left(1.133974596215561, 3.866025403784439\right)$$$A。
長軸の長さ: $$$2 \sqrt{2}\approx 2.82842712474619$$$A.
長半径の長さ: $$$\sqrt{2}\approx 1.414213562373095$$$A.
短軸の長さ: $$$\sqrt{6}\approx 2.449489742783178$$$A.
短半径の長さ: $$$\frac{\sqrt{6}}{2}\approx 1.224744871391589$$$A.
面積：$$$\sqrt{3} \pi\approx 5.441398092702654$$$A。
円周：$$$4 \sqrt{2} E\left(\frac{1}{4}\right)\approx 8.301219834871215$$$A。
第1準弦: $$$y = 4 - x$$$A.
第二準弦: $$$y = 6 - x$$$A.
第1の通径の端点: $$$\left(\frac{9}{4}, \frac{7}{4}\right) = \left(2.25, 1.75\right)$$$, $$$\left(\frac{3}{4}, \frac{13}{4}\right) = \left(0.75, 3.25\right)$$$A。
第2通径の両端点: $$$\left(\frac{13}{4}, \frac{11}{4}\right) = \left(3.25, 2.75\right)$$$, $$$\left(\frac{7}{4}, \frac{17}{4}\right) = \left(1.75, 4.25\right)$$$A.
準通径（焦点幅）の長さ: $$$\frac{3 \sqrt{2}}{2}\approx 2.121320343559643$$$A
準通径: $$$\frac{3 \sqrt{2}}{2}\approx 2.121320343559643$$$A.
離心率：$$$\frac{1}{2} = 0.5$$$A。
線離心率（焦点距離）: $$$\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707106781186548$$$A.
第1の準線: $$$y = 1 - x$$$A.
第2の準線: $$$y = 9 - x$$$A.
x切片: x切片なし.
y切片：y切片はありません。
定義域: $$$\left[2 - \frac{\sqrt{7}}{2}, \frac{\sqrt{7} + 4}{2}\right]\approx \left[0.677124344467705, 3.322875655532295\right].$$$A
値域：$$$\left[3 - \frac{\sqrt{7}}{2}, \frac{\sqrt{7} + 6}{2}\right]\approx \left[1.677124344467705, 4.322875655532295\right]$$$A。