$$$2 x^{3} + 15 x^{2} + 22 x - 11$$$ を $$$x^{2} + 8 x + 15$$$ で割る

筆算を用いて $$$\frac{2 x^{3} + 15 x^{2} + 22 x - 11}{x^{2} + 8 x + 15}$$$ を求めよ。

問題を特別な形式で書いてください:

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x^{2}+8 x+15&2 x^{3}+15 x^{2}+22 x-11\end{array}$$$

ステップ 1

被除式の最高次の項を除式の最高次の項で割る: $$$\frac{2 x^{3}}{x^{2}} = 2 x$$$

計算した結果を表の上部に記入してください。

それを除数で掛ける: $$$2 x \left(x^{2}+8 x+15\right) = 2 x^{3}+16 x^{2}+30 x$$$.

得られた結果から被除数を減じます: $$$\left(2 x^{3}+15 x^{2}+22 x-11\right) - \left(2 x^{3}+16 x^{2}+30 x\right) = - x^{2}- 8 x-11$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Peru}2 x}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+8 x+15&{\color{Peru}2 x^{3}}&+15 x^{2}&+22 x&-11&\frac{{\color{Peru}2 x^{3}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Peru}2 x}\\&-\phantom{2 x^{3}}&&&&\\&2 x^{3}&+16 x^{2}&+30 x&&{\color{Peru}2 x} \left(x^{2}+8 x+15\right) = 2 x^{3}+16 x^{2}+30 x\\\hline\\&&- x^{2}&- 8 x&-11&\end{array}$$

ステップ 2

得られた余りの首項を除数の首項で割る: $$$\frac{- x^{2}}{x^{2}} = -1$$$。

計算した結果を表の上部に記入してください。

それを除数で掛ける: $$$- \left(x^{2}+8 x+15\right) = - x^{2}- 8 x-15$$$.

得られた結果から余りを引きます: $$$\left(- x^{2}- 8 x-11\right) - \left(- x^{2}- 8 x-15\right) = 4$$$

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&2 x&{\color{Purple}-1}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+8 x+15&2 x^{3}&+15 x^{2}&+22 x&-11&\\&-\phantom{2 x^{3}}&&&&\\&2 x^{3}&+16 x^{2}&+30 x&&\\\hline\\&&{\color{Purple}- x^{2}}&- 8 x&-11&\frac{{\color{Purple}- x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Purple}-1}\\&&-\phantom{- x^{2}}&&&\\&&- x^{2}&- 8 x&-15&{\color{Purple}-1} \left(x^{2}+8 x+15\right) = - x^{2}- 8 x-15\\\hline\\&&&&4&\end{array}$$

剰余の次数が除数の次数より小さいので、これで終了です。

結果の表をもう一度示します:

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Peru}2 x}&{\color{Purple}-1}&&&\text{ヒント}\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+8 x+15&{\color{Peru}2 x^{3}}&+15 x^{2}&+22 x&-11&\frac{{\color{Peru}2 x^{3}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Peru}2 x}\\&-\phantom{2 x^{3}}&&&&\\&2 x^{3}&+16 x^{2}&+30 x&&{\color{Peru}2 x} \left(x^{2}+8 x+15\right) = 2 x^{3}+16 x^{2}+30 x\\\hline\\&&{\color{Purple}- x^{2}}&- 8 x&-11&\frac{{\color{Purple}- x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Purple}-1}\\&&-\phantom{- x^{2}}&&&\\&&- x^{2}&- 8 x&-15&{\color{Purple}-1} \left(x^{2}+8 x+15\right) = - x^{2}- 8 x-15\\\hline\\&&&&4&\end{array}$$

したがって、$$$\frac{2 x^{3} + 15 x^{2} + 22 x - 11}{x^{2} + 8 x + 15} = \left(2 x - 1\right) + \frac{4}{x^{2} + 8 x + 15}$$$。