eMathHelp 数学ソルバー – 無料の手順付き計算機

ガウス・ジョルダン消去法を用いて$$$\left[\begin{array}{cc}a & b\\c & d\end{array}\right]^{-1}$$$を計算してください。

逆行列を求めるには、行列に単位行列を付加して拡大行列を作り、左側が単位行列になるように行基本変形を行います。すると、右側が逆行列になります。

したがって、行列を単位行列で拡大する：

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}a & b & 1 & 0\\c & d & 0 & 1\end{array}\right]$$$

第$$$1$$$行を$$$a$$$で割る: $$$R_{1} = \frac{R_{1}}{a}$$$。

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{b}{a} & \frac{1}{a} & 0\\c & d & 0 & 1\end{array}\right]$$$

$$$2$$$行から$$$1$$$行の$$$c$$$倍を引く: $$$R_{2} = R_{2} - c R_{1}$$$

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{b}{a} & \frac{1}{a} & 0\\0 & d - \frac{b c}{a} & - \frac{c}{a} & 1\end{array}\right]$$$

第$$$2$$$行を$$$d - \frac{b c}{a}$$$で割る: $$$R_{2} = \frac{R_{2}}{d - \frac{b c}{a}}$$$。

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & \frac{b}{a} & \frac{1}{a} & 0\\0 & 1 & - \frac{c}{a d - b c} & \frac{a}{a d - b c}\end{array}\right]$$$

$$$1$$$行から$$$2$$$行の$$$\frac{b}{a}$$$倍を引く: $$$R_{1} = R_{1} - \frac{b}{a} R_{2}$$$

$$$\left[\begin{array}{cc|cc}1 & 0 & \frac{d}{a d - b c} & - \frac{b}{a d - b c}\\0 & 1 & - \frac{c}{a d - b c} & \frac{a}{a d - b c}\end{array}\right]$$$

これで完了です。左側が単位行列です。右側が逆行列です。

逆行列は$$$\left[\begin{array}{cc}\frac{d}{a d - b c} & - \frac{b}{a d - b c}\\- \frac{c}{a d - b c} & \frac{a}{a d - b c}\end{array}\right]$$$Aです。