Moltiplicatori di Lagrange: trova i massimi e i minimi di $$$f{\left(x,y \right)} = x y$$$, soggetti a $$$x = 0$$$

Trova i valori massimo e minimo di $$$f{\left(x,y \right)} = x y$$$ soggetta al vincolo $$$x = 0$$$.

Attenzione! Questo calcolatore non verifica le condizioni per l'applicazione del metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Utilizzalo a tuo rischio: il risultato potrebbe essere errato.

Costruisci la lagrangiana: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = x y + \lambda x$$$.

Trova tutte le derivate parziali del primo ordine:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x y + \lambda x\right) = \lambda + y$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di derivate parziali).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x y + \lambda x\right) = x$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di derivate parziali).

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(x y + \lambda x\right) = x$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di derivate parziali).

Successivamente, risolvi il sistema $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$, oppure $$$\begin{cases} \lambda + y = 0 \\ x = 0 \\ x = 0 \end{cases}$$$.

Il sistema ha la seguente soluzione reale: $$$\left(x, y\right) = \left(0, - \lambda\right)$$$.

$$$f{\left(0,- \lambda \right)} = 0$$$

Poiché abbiamo trovato un solo valore, bisogna ancora verificare se sia il massimo o il minimo. Per farlo, scegli un altro punto che soddisfi i vincoli e calcola il valore della funzione in esso. Se il valore in questo nuovo punto è minore del valore nel punto originale, allora il punto originale è il massimo. Al contrario, se il valore nel nuovo punto è maggiore, allora il punto originale è il minimo.

Impossibile trovare il massimo e il minimo.