Moltiplicatori di Lagrange: trova i massimi e i minimi di $$$f{\left(x,y,z \right)} = x y^{2} z^{3}$$$, soggetti a $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$

Trova i valori massimo e minimo di $$$f{\left(x,y,z \right)} = x y^{2} z^{3}$$$ soggetta al vincolo $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$.

Attenzione! Questo calcolatore non verifica le condizioni per l'applicazione del metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Utilizzalo a tuo rischio: il risultato potrebbe essere errato.

Riscrivi il vincolo $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$ come $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 = 0$$$.

Costruisci la lagrangiana: $$$L{\left(x,y,z,\lambda \right)} = x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)$$$.

Trova tutte le derivate parziali del primo ordine:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = 2 \lambda x + y^{2} z^{3}$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di derivate parziali).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = 2 y \left(\lambda + x z^{3}\right)$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di derivate parziali).

$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = z \left(2 \lambda + 3 x y^{2} z\right)$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di derivate parziali).

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di derivate parziali).

Successivamente, risolvi il sistema $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial z} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$, oppure $$$\begin{cases} 2 \lambda x + y^{2} z^{3} = 0 \\ 2 y \left(\lambda + x z^{3}\right) = 0 \\ z \left(2 \lambda + 3 x y^{2} z\right) = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 = 0 \end{cases}.$$$

Il sistema ha le seguenti soluzioni reali: $$$\left(x, y, z\right) = \left(\sqrt{6 - y^{2}}, y, 0\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(\sqrt{6 - z^{2}}, 0, z\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(- \sqrt{6 - y^{2}}, y, 0\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(- \sqrt{6 - z^{2}}, 0, z\right)$$$.

$$$f{\left(\sqrt{6 - y^{2}},y,0 \right)} = 0$$$

$$$f{\left(\sqrt{6 - z^{2}},0,z \right)} = 0$$$

$$$f{\left(- \sqrt{6 - y^{2}},y,0 \right)} = 0$$$

$$$f{\left(- \sqrt{6 - z^{2}},0,z \right)} = 0$$$

Poiché abbiamo trovato un solo valore, bisogna ancora verificare se sia il massimo o il minimo. Per farlo, scegli un altro punto che soddisfi i vincoli e calcola il valore della funzione in esso. Se il valore in questo nuovo punto è minore del valore nel punto originale, allora il punto originale è il massimo. Al contrario, se il valore nel nuovo punto è maggiore, allora il punto originale è il minimo.

Impossibile trovare il massimo e il minimo.