Moltiplicatori di Lagrange: trova i massimi e i minimi di $$$f{\left(x,y \right)} = 81 x^{2} + y^{2}$$$, soggetti a $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$

Trova i valori massimo e minimo di $$$f{\left(x,y \right)} = 81 x^{2} + y^{2}$$$ soggetta al vincolo $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$.

Attenzione! Questo calcolatore non verifica le condizioni per l'applicazione del metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Utilizzalo a tuo rischio: il risultato potrebbe essere errato.

Riscrivi il vincolo $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$ come $$$4 x^{2} + y^{2} - 9 = 0$$$.

Costruisci la lagrangiana: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)$$$.

Trova tutte le derivate parziali del primo ordine:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 2 x \left(4 \lambda + 81\right)$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di derivate parziali).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 2 y \left(\lambda + 1\right)$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di derivate parziali).

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 4 x^{2} + y^{2} - 9$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di derivate parziali).

Successivamente, risolvi il sistema $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$, oppure $$$\begin{cases} 2 x \left(4 \lambda + 81\right) = 0 \\ 2 y \left(\lambda + 1\right) = 0 \\ 4 x^{2} + y^{2} - 9 = 0 \end{cases}.$$$

Il sistema ha le seguenti soluzioni reali: $$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{3}{2}, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, -3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{3}{2}, 0\right)$$$.

$$$f{\left(- \frac{3}{2},0 \right)} = \frac{729}{4}$$$

$$$f{\left(0,-3 \right)} = 9$$$

$$$f{\left(0,3 \right)} = 9$$$

$$$f{\left(\frac{3}{2},0 \right)} = \frac{729}{4}$$$

Pertanto, il valore minimo è $$$9$$$ e il valore massimo è $$$\frac{729}{4}$$$.

Massimo

$$$\frac{729}{4} = 182.25$$$A nel punto $$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{3}{2}, 0\right) = \left(-1.5, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{3}{2}, 0\right) = \left(1.5, 0\right)$$$A.

Minimo

$$$9$$$A nel punto $$$\left(x, y\right) = \left(0, -3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 3\right)$$$A.