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Moltiplicatori di Lagrange: trova i massimi e i minimi di $$$f{\left(x,y \right)} = 4 x + y$$$, soggetti a $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$
Calcolatore correlato: Calcolatore di punti critici, estremi e punti di sella
Il tuo input
Trova i valori massimo e minimo di $$$f{\left(x,y \right)} = 4 x + y$$$ soggetta al vincolo $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$.
Soluzione
Attenzione! Questo calcolatore non verifica le condizioni per l'applicazione del metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Utilizzalo a tuo rischio: il risultato potrebbe essere errato.
Riscrivi il vincolo $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$ come $$$- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20 = 0$$$.
Costruisci la lagrangiana: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)$$$.
Trova tutte le derivate parziali del primo ordine:
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \lambda \sqrt{y}}{8 \sqrt{x}} + 4$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di derivate parziali).
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \lambda \sqrt{x}}{8 \sqrt{y}} + 1$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di derivate parziali).
$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di derivate parziali).
Successivamente, risolvi il sistema $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$, oppure $$$\begin{cases} - \frac{5 \lambda \sqrt{y}}{8 \sqrt{x}} + 4 = 0 \\ - \frac{5 \lambda \sqrt{x}}{8 \sqrt{y}} + 1 = 0 \\ - \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20 = 0 \end{cases}.$$$
Il sistema ha la seguente soluzione reale: $$$\left(x, y\right) = \left(8, 32\right)$$$.
$$$f{\left(8,32 \right)} = 64$$$
Considera il punto $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{801}{100}, \frac{25600}{801}\right)$$$.
Poiché $$$f{\left(\frac{801}{100},\frac{25600}{801} \right)} = \frac{1281601}{20025}$$$ è maggiore di $$$64$$$, si può affermare che $$$64$$$ è il minimo.
Risposta
Massimo
Nessun massimo.
Minimo
$$$64$$$A nel punto $$$\left(x, y\right) = \left(8, 32\right)$$$A.